Вопрос школьника
Сформулируйте свойства скалярного произведения векторов.
Для любых векторов а, b и с и любого числа к справедливы соотношения:
Ответ от учителя
Скалярное произведение векторов — это операция, которая принимает на вход два вектора и возвращает число. Свойства скалярного произведения векторов можно сформулировать следующим образом:
1. Коммутативность: a · b = b · a
Скалярное произведение двух векторов не зависит от порядка этих векторов.
2. Дистрибутивность: (a + b) · c = a · c + b · c
Скалярное произведение суммы двух векторов на другой вектор равно сумме скалярных произведений каждого из этих векторов на данный вектор.
3. Ассоциативность: (k a) · b = k (a · b) = a · (k b)
Скалярное произведение вектора, умноженного на число, на другой вектор равно произведению этого числа на скалярное произведение первого вектора на данный вектор.
4. Скалярное произведение вектора на самого себя равно квадрату длины вектора: a · a = ||a||^2
Скалярное произведение вектора на самого себя равно квадрату длины этого вектора.
5. Скалярное произведение векторов равно нулю, если они ортогональны: a · b = 0, если a ⊥ b
Скалярное произведение двух ортогональных векторов равно нулю.
6. Скалярное произведение векторов равно произведению длин векторов на косинус угла между ними: a · b = ||a|| ||b|| cos(α)
Скалярное произведение двух векторов равно произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.
Эти свойства скалярного произведения векторов широко используются в математике, физике, инженерии и других науках.
