Вопрос школьника
Сравните произведение наибольшего общего делителя двух каких-либо натуральных чисел и их наименьшего общего кратного с произведением этих чисел. Рассмотрите не менее трех примеров и сделайте вывод.
Ответ от учителя
Произведение наибольшего общего делителя (НОД) и наименьшего общего кратного (НОК) двух натуральных чисел a и b равно произведению самих чисел a и b. То есть:
НОД(a,b) * НОК(a,b) = a * b
Это можно доказать следующим образом. Представим числа a и b в виде произведения их простых множителей:
a = p1^x1 * p2^x2 * … * pn^xn
b = p1^y1 * p2^y2 * … * pn^yn
где pi — простое число, а xi и yi — натуральные числа.
Тогда НОД(a,b) будет равен произведению всех общих простых множителей чисел a и b, взятых в минимальной степени:
НОД(a,b) = p1^min(x1,y1) * p2^min(x2,y2) * … * pn^min(xn,yn)
А НОК(a,b) будет равен произведению всех простых множителей чисел a и b, взятых в максимальной степени:
НОК(a,b) = p1^max(x1,y1) * p2^max(x2,y2) * … * pn^max(xn,yn)
Тогда произведение НОД(a,b) и НОК(a,b) будет равно:
НОД(a,b) * НОК(a,b) = p1^(min(x1,y1)+max(x1,y1)) * p2^(min(x2,y2)+max(x2,y2)) * … * pn^(min(xn,yn)+max(xn,yn))
Заметим, что для каждого простого множителя pi выполняется:
min(xi,yi) + max(xi,yi) = xi + yi
Таким образом, произведение НОД(a,b) и НОК(a,b) равно:
НОД(a,b) * НОК(a,b) = p1^(x1+y1) * p2^(x2+y2) * … * pn^(xn+yn) = a * b
Теперь рассмотрим несколько примеров.
Пример 1. a = 12, b = 18.
Найдем НОД(a,b) и НОК(a,b):
a = 2^2 * 3
b = 2 * 3^2
НОД(a,b) = 2 * 3 = 6
НОК(a,b) = 2^2 * 3^2 = 36
Проверим, что НОД(a,b) * НОК(a,b) = a * b:
6 * 36 = 216 = 12 * 18
Пример 2. a = 15, b = 25.
Найдем НОД(a,b) и НОК(a,b):
a = 3 * 5
b = 5^2
НОД(a,b) = 5
НОК(a,b) = 3 * 5^2 = 75
Проверим, что НОД(a,b) * НОК(a,b) = a * b:
5 * 75 = 375 = 15 * 25
Пример 3. a = 7, b = 11.
Найдем НОД(a,b) и НОК(a,b):
a = 7
b = 11
НОД(a,b) = 1
НОК(a,b) = 7 * 11 = 77
Проверим, что НОД(a,b) * НОК(a,b) = a * b:
1 * 77 = 77 = 7 * 11
Из этих примеров видно, что произведение НОД(a,b) и НОК(a,b) всегда равно произведению самих чисел a и b. Таким образом, можно сделать вывод, что НОД и НОК являются взаимно обратными операциями, то есть если мы знаем одно из них, то можем легко найти другое.
