Вопрос школьника
Сторона треугольника равна 7 см, угол, противолежащий этой стороне, равен 60°, сумма других сторон равна 13 см. Найдите стороны треугольника.
Ответ от учителя
Для решения задачи можно использовать теорему косинусов, которая гласит:
$a^2 = b^2 + c^2 — 2bccosalpha$
где $a$ — сторона, противолежащая углу $alpha$, $b$ и $c$ — остальные стороны треугольника.
Из условия задачи известны следующие данные:
$a = 7$ см, $alpha = 60^circ$, $b + c = 13$ см.
Найдем стороны $b$ и $c$:
$b^2 = a^2 + c^2 — 2accosalpha$
$b^2 = 7^2 + c^2 — 2cdot 7cdot ccdot cos 60^circ$
$b^2 = 49 + c^2 — 7c$
$c^2 = a^2 + b^2 — 2abcosalpha$
$c^2 = 7^2 + b^2 — 2cdot 7cdot bcdot cos 60^circ$
$c^2 = 49 + b^2 — 7b$
Сложим полученные уравнения:
$b^2 + c^2 = 98 + b^2 — 7b + c^2 — 7c$
$7b + 7c = 98$
$b + c = 14$
Из этого уравнения найдем $b$:
$b = 14 — c$
Подставим это выражение в одно из уравнений, полученных из теоремы косинусов:
$(14-c)^2 = 49 + c^2 — 7c — 2cdot 7cdot ccdot cos 60^circ$
$196 — 28c + c^2 = 49 + c^2 — 7c — 7c$
$14c = 147$
$c = frac{147}{14} approx 10.5$
$b = 14 — c approx 3.5$
Таким образом, стороны треугольника равны:
$a = 7$ см, $b approx 3.5$ см, $c approx 10.5$ см.
