Вопрос школьника
Стороны АВ и CD параллелограмма ABCD площади 1 разбиты на п равных частей, AD и ВС — наш равных частей. Точки деления соединены так, как показано на рисунке 65.13, где n = 3, m. = 4. Чему равны площади образовавшихся при этом маленьких параллелограммов?
Ответ от учителя
Для решения этой задачи нам нужно использовать свойства параллелограмма и пропорциональности площадей фигур.
Поскольку стороны AB и CD параллельны, то углы A и C равны, а углы B и D тоже равны. Также из условия задачи следует, что AD и ВС делятся на равные части, то есть отрезки AB и CD тоже делятся на равные части.
Обозначим длину отрезка AB как a, а длину отрезка CD как b. Тогда длины отрезков AC и BD равны a + b.
Посмотрим на рисунок и обратим внимание на параллелограммы, образованные точками деления. Они имеют высоту, равную длине отрезка AD (или ВС), и основания, равные длине отрезка AB (или CD), деленной на п.
Таким образом, площадь каждого маленького параллелограмма равна высоте, умноженной на длину основания:
S = h * (a/p)
Высота равна длине отрезка AD (или ВС), то есть (a + b)/m. Подставляем это значение в формулу для площади:
S = ((a + b)/m) * (a/p)
Теперь нам нужно выразить b через a и p. Для этого заметим, что отрезки AB и CD делятся на равные части, поэтому:
a/p = b/n
Отсюда следует, что:
b = (a*n)/p
Подставляем это значение в формулу для площади:
S = ((a + (a*n)/p)/m) * (a/p)
S = (a/p) * (a*(1 + n/p))/m
S = (a^2 * (1 + n/p))/(m*p)
Таким образом, мы получили формулу для площади каждого маленького параллелограмма в зависимости от длины отрезка AB (или CD) и коэффициентов деления p и n.
Для конкретных значений p = 3 и n = 4 мы можем вычислить площадь каждого маленького параллелограмма:
S = (a^2 * (1 + 4/3))/(3*4) = (7/12) * a^2
Таким образом, площадь каждого маленького параллелограмма равна (7/12) от квадрата длины отрезка AB (или CD).
