Вопрос школьника
Стороны треугольника равны 2 см и 4 см. Через центр окружности, вписанной в данный треугольник, и концы третьей стороны проведена окружность. Найдите радиус проведенной окружности, если угол между данными сторонами равен 60°.
Ответ от учителя
Для начала найдем площадь треугольника. Используем формулу Герона:
p = (a + b + c) / 2, где a, b, c — стороны треугольника, p — полупериметр
p = (2 + 4 + c) / 2 = 3 + c/2
S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)) = sqrt((3 + c/2)(3 — c/2)(1)(1)) = sqrt(9 — c^2/4)
Также знаем, что площадь треугольника можно выразить через радиус вписанной окружности:
S = pr, где r — радиус вписанной окружности
Таким образом, получаем уравнение:
sqrt(9 — c^2/4) = r(3 + c/2)
Воспользуемся теоремой косинусов для нахождения третьей стороны треугольника:
c^2 = a^2 + b^2 — 2ab*cos(C), где C — угол между сторонами a и b
c^2 = 2^2 + 4^2 — 2*2*4*cos(60°) = 16 — 8 = 8
c = sqrt(8) = 2*sqrt(2)
Теперь можем подставить значение c в уравнение для радиуса:
sqrt(9 — (2*sqrt(2))^2/4) = r(3 + 2*sqrt(2)/2)
sqrt(5) = r(3 + sqrt(2))
r = sqrt(5) / (3 + sqrt(2)) ≈ 0.78 см
Ответ: радиус проведенной окружности ≈ 0.78 см.
