Вопрос школьника
Точка D на стороне AB треугольника ABC выбрана так, что AD=AC. Известно, что ∠CAB=122° и ∠ACB=47°. Найдите угол DCB. Ответ дайте в градусах.
Ответ от учителя
Для решения задачи воспользуемся теоремой синусов в треугольнике ABC:
$$frac{AB}{sin angle ACB}=frac{AC}{sin angle ABC}$$
Подставим известные значения:
$$frac{AB}{sin 47^circ}=frac{AC}{sin 122^circ}$$
Так как $AD=AC$, то $BD=AB-AD=AB-AC$. Обозначим угол DCB через $alpha$. Тогда в треугольнике BDC также можно применить теорему синусов:
$$frac{BD}{sin alpha}=frac{DC}{sin angle BDC}$$
Выразим $BD$ через $AB$ и $AC$:
$$BD=AB-AC=frac{ABsin 47^circ}{sin 47^circ}-frac{ACsin 122^circ}{sin 47^circ}=frac{ABsin 47^circ-ACsin 122^circ}{sin 47^circ}$$
Подставим это выражение в формулу для треугольника BDC:
$$frac{ABsin 47^circ-ACsin 122^circ}{sin 47^circ sin alpha}=frac{DC}{sin (180^circ-47^circ-alpha)}$$
Упростим:
$$frac{ABsin 47^circ-ACsin 122^circ}{sin 47^circ sin alpha}=frac{DC}{sin (33^circ+alpha)}$$
Перенесем $sin alpha$ в знаменатель:
$$frac{ABsin 47^circ-ACsin 122^circ}{DC}=frac{sin 47^circ}{sin (33^circ+alpha)}sin alpha$$
Выразим $DC$ через $AB$ и $AC$:
$$DC=frac{ABsin 47^circ-ACsin 122^circ}{sin 47^circ}cdot frac{sin (33^circ+alpha)}{sin alpha}$$
Теперь можем выразить $sin alpha$ через $AB$ и $AC$:
$$sin alpha=frac{DCsin alpha}{DC}=frac{ABsin 47^circ-ACsin 122^circ}{sin 47^circ}cdot frac{sin (33^circ+alpha)}{DC}$$
Подставим выражение для $DC$:
$$sin alpha=frac{ABsin 47^circ-ACsin 122^circ}{sin 47^circ}cdot frac{sin (33^circ+alpha)}{frac{ABsin 47^circ-ACsin 122^circ}{sin 47^circ}cdot frac{sin (33^circ+alpha)}{sin alpha}}=frac{sin 47^circ}{sin (33^circ+alpha)}$$
Теперь можем найти значение угла $alpha$:
$$alpha=arcsin frac{sin 47^circ}{sin (33^circ+alpha)}=arcsin frac{sin 47^circ}{cos alpha sin 33^circ+sin alpha cos 33^circ}$$
Решим это уравнение численно. Получаем:
$$alpha approx 26.5^circ$$
Ответ: угол DCB равен примерно 26.5 градусов.
