Вопрос школьника
Точка F лежит на большем основании AD трапеции ABCD так, что отрезок CF параллелен боковой стороне АВ. Вычислите площадь параллелограмма ABCF, если высота трапеции равна 3 см, а длины ее средней линии и большего основания равны 5 см и 8 см соответственно.
Ответ от учителя
Пусть точка M — середина боковой стороны AB. Тогда AM = MB = 4 см (половина большего основания). Также из условия задачи известно, что CF || AB, значит, треугольники CFD и AME подобны (где E — точка пересечения высоты трапеции с большим основанием). Тогда можно записать пропорцию:
$frac{CF}{AB} = frac{FD}{ME}$
$frac{CF}{8} = frac{3}{5}$
$CF = frac{24}{5}$
Теперь можно найти высоту треугольника CFD:
$h = frac{2S}{CF} = frac{2 cdot frac{1}{2} cdot 3 cdot 5}{frac{24}{5}} = frac{5}{4}$
Также из подобия треугольников CFD и AME можно найти высоту треугольника AME:
$h’ = frac{h cdot AM}{FD} = frac{frac{5}{4} cdot 4}{3} = frac{5}{3}$
Теперь можно найти площадь параллелограмма ABCF:
$S_{ABCF} = AB cdot h’ = 8 cdot frac{5}{3} = frac{40}{3}$
Ответ: $frac{40}{3}$ см$^2$.
