Вопрос школьника
Точка O – центр окружности, на которой лежат точки S, T и V таким образом, что OSTV – ромб. Найдите угол STV. Ответ дайте в градусах
Ответ от учителя
Так как OSTV – ромб, то все его стороны равны между собой. Пусть длина стороны ромба равна a. Тогда расстояние от центра O до любой из вершин S, T или V равно a/√2.
Рассмотрим треугольник STV. Он равнобедренный, так как ST = TV (как диагонали ромба). Пусть угол между ST и TV равен α. Тогда угол между ST и SV равен (180-α)/2, так как сумма углов треугольника равна 180 градусов.
Так как точка O является центром окружности, то STV – это дуга окружности, которая соответствует углу (180-α)/2. Радиус этой окружности равен a/√2. Тогда длина дуги STV равна (a/√2) * ((180-α)/2) * π/180.
С другой стороны, длина дуги STV равна длине диагонали ромба, то есть a. Сравнивая эти два выражения, получаем:
(a/√2) * ((180-α)/2) * π/180 = a
Решая это уравнение относительно α, получаем:
α = 2 * arctan(√2) ≈ 54.7 градусов.
Таким образом, угол STV равен 2 * α, то есть примерно 109.4 градусов.
