Вопрос школьника
Точки А, С, В и D лежат на окружности. Прямые АС и BD пересекаются в точке О (рис. 35, б). Докажите, что угол O= 1/2 (∪CD — ∪АВ).
Ответ от учителя
Для начала, обозначим угол ∪CD как α, а угол ∪АВ как β. Тогда нам нужно доказать, что угол O равен половине разности между углами α и β.
Рассмотрим треугольники AOC и BOD. Они равнобедренные, так как лежат на окружности, и углы AOC и BOD равны α/2 и β/2 соответственно. Также, угол AOB равен разности углов α и β (AOB = α — β).
Теперь рассмотрим треугольник AOD. У него есть два угла: угол AOD, который равен α/2 + β/2 (сумма углов внутри треугольника), и угол OAD, который равен половине угла AOB (так как AD является хордой окружности, а угол, опирающийся на эту хорду, равен половине центрального угла).
Таким образом, угол OAD равен (α — β)/2. Но мы хотим найти угол O, а не OAD. Заметим, что угол OAD и угол OBD равны (они опираются на одну и ту же дугу BD), поэтому угол OBD также равен (α — β)/2.
Теперь рассмотрим треугольник OBD. У него есть два угла: угол OBD, который мы уже нашли, и угол ODB, который равен β/2 (так как BD является хордой окружности, а угол, опирающийся на эту хорду, равен половине центрального угла).
Таким образом, угол O равен OBD + ODB, то есть (α — β)/2 + β/2, что действительно равно половине разности между углами α и β.
Таким образом, мы доказали, что угол O равен 1/2 (∪CD — ∪АВ).
