Вопрос школьника
Точки Е и F — середины сторон AD и ВС параллелограмма ABCD соответственно. Докажите, что прямые BE и отделят диагональ АС на три равные части.
Ответ от учителя
Для доказательства того, что прямые BE и отделят диагональ АС на три равные части, нужно воспользоваться свойствами параллелограмма и свойствами серединных перпендикуляров.
Согласно свойствам параллелограмма, стороны AB и CD параллельны, а стороны BC и AD тоже параллельны. Также известно, что точки Е и F являются серединами сторон AD и ВС соответственно.
Проведем через точку Е прямую, параллельную стороне BC параллелограмма. Обозначим точку пересечения этой прямой с диагональю АС как G.
Так как прямая BE является серединным перпендикуляром к стороне AD, то она делит ее на две равные части. То есть, точка Е является серединой отрезка AD.
Также, так как прямая EG параллельна стороне BC, то треугольники AEG и CGB подобны. Это следует из теоремы о параллельных прямых, которая гласит, что если две прямые параллельны, то соответственные углы при пересечении этих прямых равны.
Таким образом, отрезок AG равен половине диагонали АС, так как точка Е является серединой стороны AD, а отрезок EG равен трети стороны BC, так как прямая EG отделяет сторону BC на две равные части.
Аналогично, можно провести прямую, параллельную стороне AB параллелограмма, через точку F и доказать, что она также отделяет диагональ АС на три равные части.
Таким образом, прямые BE и отделяют диагональ АС на три равные части.
