Вопрос школьника
Треугольник ABC — равнобедренный с основанием АС. Через длину точку М его биссектрисы BD проведения прямых, параллельных его сторонам АВ i ВС и пересекают отрезок АС в точках Е и F соответственно. Докажите, что DE = DF
Ответ от учителя
Для начала заметим, что по условию треугольник ABC равнобедренный, то есть AB = BC. Также, по определению биссектрисы, BM делит угол ABC пополам, то есть угол ABM = угол CBM.
Рассмотрим теперь треугольники ABD и CBD. Они имеют общую сторону BD и равные углы ABM и CBM, следовательно, по признаку угл-угл-сторона они подобны. Значит, соответствующие стороны пропорциональны:
AB/BD = BD/BC
AB = BC (по условию)
AB/BD = BD/AB
AB^2 = BD^2
Аналогично можно доказать, что AC^2 = CD^2.
Теперь рассмотрим треугольники ADE и CDF. Они имеют равные углы AED и CFD (так как прямые DE и DF параллельны сторонам AB и BC соответственно), а также равные стороны AD и CD (по доказанному выше). Значит, по признаку равенства треугольников они равны, а значит, их соответствующие стороны равны:
DE = DF
Что и требовалось доказать.
