Вопрос школьника
Три окружности радиуса √3 касаются друг друга внешним образом. Найдите радиус окружности, касающейся трёх данных окружностей.
Ответ от учителя
Для решения этой задачи можно воспользоваться теоремой о вписанной окружности треугольника. Если мы соединим центры трех окружностей, то получим равносторонний треугольник со стороной 2√3 (так как радиус каждой окружности равен √3).
Теперь мы можем найти радиус вписанной окружности этого треугольника, используя формулу:
r = S / p,
где r — радиус вписанной окружности, S — площадь треугольника, p — полупериметр треугольника.
Площадь равностороннего треугольника можно найти по формуле:
S = (a^2 * √3) / 4,
где a — длина стороны треугольника.
Полупериметр равностороннего треугольника равен:
p = 3a / 2.
Подставляя значения, получаем:
S = (2√3)^2 * √3 / 4 = 3√3,
p = 3 * 2√3 / 2 = 3√3.
Тогда радиус вписанной окружности равен:
r = 3√3 / (3√3 / 2) = 2.
Ответ: радиус окружности, касающейся трех данных окружностей, равен 2.
