Вопрос школьника
Трёхзначное число оканчивается цифрой 7. Если эту цифру перенести на первое место, то полученное число будет на 17 меньше утроенного первоначального числа. Найдите данное трёхзначное число.
Ответ от учителя
Пусть искомое трехзначное число равно $abc$, где $a$, $b$ и $c$ — цифры числа. Так как число оканчивается на 7, то $c=7$. Если перенести цифру 7 на первое место, то получится число $cab$. Согласно условию, это число на 17 меньше утроенного первоначального числа $abc$, то есть:
$$3cdot abc = cab + 17$$
Заменяем $c$ на 7 и $cab$ на $100a+10b+7$:
$$3cdot abc = 100a+10b+7+17$$
Упрощаем:
$$300a+30b+3cdot 7 = 100a+10b+24$$
$$200a+20b=51$$
$$20(10a+b)=51$$
Так как $a$ и $b$ — цифры, то $10a+b$ — двузначное число, которое должно делиться на 20. Единственное такое число — 20. Значит, $10a+b=20$, откуда $b=20-10a$. Подставляем в исходное уравнение:
$$abc=100a+10(20-10a)+7=197+a$$
Таким образом, искомое трехзначное число равно $197+a$, где $a$ — цифра, удовлетворяющая уравнению $10a+b=20$. Решая это уравнение, находим $a=2$ и $b=20-10a=0$. Значит, $abc=197+2=boxed{199}$.
