Вопрос школьника
У трикутнику ABC проведена биссектриса. Центр кола вписаного в трикутник AKC збігається з центром кола, описаного навколо трикутника ABC визначте кути трикутника ABC
Ответ от учителя
Пусть биссектриса треугольника ABC пересекает сторону AC в точке K. Тогда, по свойствам биссектрисы, AK/KB=AC/BC.
Пусть I — центр вписанной окружности треугольника AKC, а O — центр описанной окружности треугольника ABC. Так как точка K лежит на биссектрисе угла A, то угол AKC равен половине угла BAC. Следовательно, угол AIC также равен половине угла BAC.
Так как I — центр вписанной окружности треугольника AKC, то угол AIC равен 90 градусов плюс половина угла AKC. Таким образом, угол AKC равен 2*(AIC-90) градусов.
Аналогично, так как O — центр описанной окружности треугольника ABC, то угол BOC равен 2*углу BAC.
Так как центры вписанной и описанной окружностей совпадают, то точки I и O лежат на одной прямой, проходящей через середину дуги BC описанной окружности. Следовательно, угол BOC равен 2*углу BIC.
Таким образом, имеем уравнение:
2*(AIC-90) = 2*углу BIC
Разделив обе части на 2, получаем:
AIC-90 = углу BIC
Заметим, что угол BIC равен половине угла ABC плюс половине угла ACB. Таким образом, имеем уравнение:
AIC-90 = 0.5*углу ABC + 0.5*углу ACB
Из первого уравнения имеем:
AIC = 0.5*углу BAC + 45
Подставляя это выражение во второе уравнение, получаем:
0.5*углу BAC + 45 — 90 = 0.5*углу ABC + 0.5*углу ACB
Упрощая, получаем:
0.5*углу BAC — 0.5*углу ABC = 0.5*углу ACB — 45
Таким образом, мы получили систему из трех уравнений:
AK/KB=AC/BC
AIC-90 = 0.5*углу ABC + 0.5*углу ACB
0.5*углу BAC — 0.5*углу ABC = 0.5*углу ACB — 45
Решая эту систему, можно найти значения углов треугольника ABC.
