Вопрос школьника
Ученик при помощи динамометра, жесткость пружины которого k = 100 Н/м, равномерно переместил деревянный брусок массой m = 800 г по доске на расстояние l = 10 см. Сравнить работу А1 по преодолению трения с работой А2 по растяжению пружины до начала движения бруска, если коэффициент трения μ = 0,25
Ответ от учителя
Для решения задачи необходимо вычислить работу, которую совершает ученик при перемещении бруска по доске и работу, которую совершает при растяжении пружины до начала движения бруска.
1. Работа по преодолению трения:
Работа определяется как произведение силы на путь, по которому она действует. В данном случае сила трения равна:
Fтр = μ * N,
где N — сила реакции опоры, равная весу бруска:
N = m * g,
где g — ускорение свободного падения, принимаем равным 9,8 м/с².
Тогда:
Fтр = μ * m * g.
Путь, по которому действует сила трения, равен l = 10 см = 0,1 м.
Таким образом, работа по преодолению трения равна:
A1 = Fтр * l = μ * m * g * l = 0,25 * 0,8 * 9,8 * 0,1 = 0,196 Дж.
2. Работа по растяжению пружины:
При растяжении пружины до начала движения бруска сила, действующая на него, равна силе упругости пружины:
Fупр = k * Δl,
где Δl — удлинение пружины.
Удлинение пружины можно вычислить по закону Гука:
Δl = Fупр / k.
Тогда:
Fупр = k * Δl = k * (l — l0),
где l0 — длина нерастянутой пружины.
Для нахождения l0 можно воспользоваться законом сохранения энергии:
Eпот = Eкин,
где Eпот — потенциальная энергия пружины, Eкин — кинетическая энергия бруска.
Потенциальная энергия пружины определяется формулой:
Eпот = (1/2) * k * Δl².
Кинетическая энергия бруска равна:
Eкин = (1/2) * m * v²,
где v — скорость бруска.
Таким образом, при начале движения бруска скорость равна нулю, а потенциальная энергия пружины равна нулю, поэтому:
(1/2) * k * l0² = (1/2) * m * v².
Отсюда:
l0 = sqrt(m * v² / k).
Скорость бруска можно выразить через ускорение, используя уравнение движения:
l = (1/2) * a * t²,
где a — ускорение, t — время движения.
Ускорение можно выразить через силу и массу:
a = F / m = k * Δl / m.
Тогда:
l = (1/2) * k * Δl² / m * t².
Отсюда:
t = sqrt(2 * m * l / k * Δl²).
Скорость бруска при начале движения равна:
v = a * t = k * Δl / m * sqrt(2 * m * l / k * Δl²) = sqrt(2 * k * l / m).
Тогда:
l0 = sqrt(m * (2 * k * l / m) / k) = sqrt(2 * l * m).
Таким образом, удлинение пружины равно:
Δl = l — l0 = l — sqrt(2 * l * m).
Сила упругости пружины равна:
Fупр = k * Δl = k * (l — sqrt(2 * l * m)).
Путь, по которому действует сила упругости, равен Δl.
Таким образом, работа по растяжению пружины равна:
A2 = Fупр * Δl = k * (l — sqrt(2 * l * m)) * (l — sqrt(2 * l * m)) = 0,784 Дж.
Итак, работа по растяжению пружины значительно больше работы по преодолению трения:
A2 > A1.