Вопрос школьника
В окружность радиуса √3 см вписан правильный треугольник. Найдите:
а) сторону треугольника;
б) радиус окружности, вписанной в данный треугольник.
Ответ от учителя
а) Правильный треугольник имеет все стороны равными. Обозначим длину стороны треугольника через a. Тогда, по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника, составленного из половины стороны треугольника, радиуса окружности и отрезка, соединяющего центр окружности с серединой стороны треугольника, получаем:
$(frac{a}{2})^2 + r^2 = (sqrt{3})^2$
$frac{a^2}{4} + r^2 = 3$
Также, по определению радиуса окружности, вписанной в треугольник, радиус равен половине периметра треугольника, деленной на полупериметр треугольника:
$r = frac{P}{2s}$
где P — периметр треугольника, s — полупериметр треугольника.
Так как треугольник правильный, то его периметр равен 3a. Полупериметр равен половине периметра, то есть 3a/2. Подставляем в формулу для радиуса:
$r = frac{3a}{2 cdot frac{3a}{2}} = frac{a}{2}$
Теперь мы имеем систему уравнений:
$frac{a^2}{4} + r^2 = 3$
$r = frac{a}{2}$
Подставляем второе уравнение в первое:
$frac{(2r)^2}{4} + r^2 = 3$
$2r^2 = 3$
$r^2 = frac{3}{2}$
$r = sqrt{frac{3}{2}}$
б) Радиус окружности, вписанной в треугольник, равен половине высоты, опущенной на сторону треугольника. Обозначим высоту через h. Тогда, по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника, составленного из половины стороны треугольника, радиуса окружности и высоты, получаем:
$(frac{a}{2})^2 + h^2 = r^2$
$frac{a^2}{4} + h^2 = frac{3}{2}$
$h^2 = frac{3}{2} — frac{a^2}{4}$
$h = sqrt{frac{6 — a^2}{4}}$
Так как треугольник правильный, то высота равна $frac{sqrt{3}}{2}a$. Подставляем это выражение в формулу для h:
$frac{sqrt{3}}{2}a = sqrt{frac{6 — a^2}{4}}$
$frac{3}{4}a^2 = frac{6 — a^2}{4}$
$7a^2 = 24$
$a = sqrt{frac{24}{7}}$
Таким образом, сторона треугольника равна $sqrt{frac{24}{7}}$, а радиус окружности, вписанной в треугольник, равен $sqrt{frac{3}{2}}$.
