В окружности с центром О и радиусом 10 см проведены радиусы OA и ОВ так, что угол ОАВ = 30°. Вычислите расстояние от центра окружности до прямой АВ.

image_printРаспечатать ответ

Вопрос школьника

В окружности с центром О и радиусом 10 см проведены радиусы OA и ОВ так, что угол ОАВ = 30°. Вычислите расстояние от центра окружности до прямой АВ.

Ответ от учителя

Рассмотрим треугольник ОАВ. Так как ОА = ОВ (радиусы окружности), то угол ОАВ = угол ОВА. Значит, угол ОВА = 75° (угол ОАВ = 30°). Также, угол ОАОВ = 2*угол ОВА = 150° (угол, соответствующий дуге АВ).

Рисунок для наглядности:

«`
A
/
/
/
/
/
/
O————-B
«`

Теперь рассмотрим треугольник ОМН, где М и Н — точки пересечения прямой АВ с окружностью (см. рисунок). Так как ОМ и ОН — радиусы окружности, то ОМ = ОН = 10 см. Угол ОМН = угол ОВА/2 = 37.5° (половина угла ОВА). Также, угол ОМОН = 2*угол ОМН = 75° (угол, соответствующий дуге МН).

Рисунок для наглядности:

«`
A
/
/
/
/ M
/
/
O————-B
N
«`

Теперь мы можем применить теорему синусов к треугольнику ОМН:

sin(37.5°) / 10 = sin(75°/2) / d,

где d — расстояние от центра окружности до прямой АВ.

Решая уравнение относительно d, получаем:

d = 10 * sin(75°/2) / sin(37.5°) ≈ 6.83 см.

Ответ: расстояние от центра окружности до прямой АВ ≈ 6.83 см.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *