В остроугольном треугольнике ABC отрезки СС1 и АА1 — высоты. Докажите, что серединный перпендикуляр отрезка С1А1 проходит через середину стороны АС.

image_printРаспечатать ответ

Вопрос школьника

В остроугольном треугольнике ABC отрезки СС1 и АА1 — высоты. Докажите, что серединный перпендикуляр отрезка С1А1 проходит через середину стороны АС.

Ответ от учителя

Для доказательства этого утверждения воспользуемся свойствами остроугольного треугольника.

Пусть M — середина стороны АС, а О — середина отрезка С1А1. Нам нужно доказать, что ОМ перпендикулярен стороне АС.

Рассмотрим треугольники АОС1 и МОС. Они имеют общую сторону ОС1 и равны по двум сторонам: ОА = ОС1 (как радиус окружности, описанной вокруг треугольника АС1О) и ОМ = ОМ (по определению середины отрезка). Также угол АОС1 прямой (как угол на основании прямоугольного треугольника АС1О), а угол МОС также прямой (как перпендикуляр к С1А1). Значит, треугольники АОС1 и МОС равны по двум сторонам и углу, следовательно, они равны.

Отсюда следует, что угол ОМС равен углу ОАС1 (как соответствующие углы равных треугольников). Но угол ОАС1 также прямой (как угол на основании прямоугольного треугольника АС1О). Значит, угол ОМС также прямой, то есть ОМ перпендикулярен стороне АС.

Таким образом, мы доказали, что серединный перпендикуляр отрезка С1А1 проходит через середину стороны АС.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *