В параллелограмме ABCD известно, что АВ = а, ВС = Ь. а > Ь. Окружности, вписанные в треугольники ABD и CBDt касаются диагонали BD

image_printРаспечатать ответ

Вопрос школьника

В параллелограмме ABCD известно, что АВ = а, ВС = Ь. а > Ь. Окружности, вписанные в треугольники ABD и CBDt касаются диагонали BD и точках М и К соответственно. Найдите отрезок МК.

Ответ от учителя

Пусть радиусы вписанных окружностей треугольников ABD и CBD равны r1 и r2 соответственно. Тогда, по свойству касательных, отрезки BM и BD являются катетами прямоугольных треугольников с гипотенузой r1 и r2 соответственно. Значит, BM = BD — 2r1 и BD = BK + 2r2.

Так как ABCD — параллелограмм, то AB || CD и BC || AD. Значит, углы ABD и BCD равны между собой, а значит, и треугольники ABD и CBD подобны. Тогда можно записать соотношение:

AB/BC = BD/CD

а, как известно, AB = a и BC = b, поэтому:

a/b = BD/CD

BD + CD = AD = AB + BC = a + b

BD = a + b — CD

Теперь можно выразить BM и BK через a, b и CD:

BM = BD — 2r1 = (a + b — CD) — 2r1

BK = BD — 2r2 = (a + b — CD) — 2r2

Так как М и К лежат на диагонали BD, то МК = BM + BK:

МК = (a + b — CD) — 2r1 + (a + b — CD) — 2r2

МК = 2(a + b — CD) — 2(r1 + r2)

Осталось выразить CD через a и b. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора для треугольника BCD:

CD^2 = BC^2 + BD^2 — 2BC*BD*cos(BCD)

cos(BCD) = cos(180 — ABD) = -cos(ABD)

ABD — противоположный угол к углу BCD, поэтому cos(ABD) = -cos(BCD)

Так как треугольники ABD и CBD подобны, то cos(ABD) = b/BD. Подставляем:

CD^2 = b^2 + (a + b — CD)^2 — 2b(a + b — CD)/BD

BD = (a + b)^2/(2(a + b — CD))

Подставляем это выражение для BD в формулу для МК:

МК = 2(a + b — CD) — 2r1 — 2r2

МК = 2(a + b) — 2CD — 2r1 — 2r2 — 2(a + b)^2/(a + b — CD)

Теперь осталось выразить r1 и r2 через a и b. Для этого воспользуемся формулой для радиуса вписанной окружности:

r = S/p

где S — площадь треугольника, p — полупериметр. Для треугольника ABD:

S = (a + b)*r1/2

p = (a + b + BD)/2 = (2a + 2b)/(a + b — CD)

r1 = 2S/p = (a + b)*r1/(a + b — CD)

Аналогично для треугольника CBD:

r2 = (a + b)*r2/(a + b — CD)

Подставляем выражения для r1 и r2 в формулу для МК:

МК = 2(a + b) — 2CD — 2(a + b)*r1/(a + b — CD) — 2(a + b)*r2/(a + b — CD) — 2(a + b)^2/(a + b — CD)

МК = 2(a + b) — 2CD — 2(a + b)*(r1 + r2)/(a + b — CD) — 2(a + b)^2/(a + b — CD)

Теперь осталось выразить CD через a и b и подставить все известные значения:

CD = a + b — (a^2 — b^2)/(2(a + b))

r1 = (a + b)*sqrt(a^2 + b^2 — 2ab)/(2(a + b — CD))

r2 = (b*sqrt(a^2 + b^2 — 2ab))/(2(a + b — CD))

МК = 2(a + b) — 2(a + b — (a^2 — b^2)/(2(a + b))) — 2(a + b)*((a + b)*sqrt(a^2 + b^2 — 2ab)/(2(a + b — CD)) + (b*sqrt(a^2 + b^2 — 2ab))/(2(a + b — CD))) — 2(a + b)^2/(a + b — CD)

МК = 2(a + b) — (a + b + (a^2 — b^2)/(a + b)) — (a + b)*sqrt(a^2 + b^2 — 2ab)/(a + b — (a^2 — b^2)/(2(a + b))) — (b*sqrt(a^2 + b^2 — 2ab))/(a + b — (a^2 — b^2)/(2(a + b))) — 2(a + b)^2/(a + b — (a^2 — b^2)/(2(a + b)))

МК = 2(a + b) — (a + b + (a^2 — b^2)/(a + b)) — (a + b)*sqrt((a + b)^2 — 4ab)/((a + b)^2 — (a^2 — b^2)) — (b*sqrt((a + b)^2 — 4ab))/((a + b)^2 — (a^2 — b^2)) — 2(a + b)^2/((a + b)^2 — (a^2 — b^2)/(2(a + b)))

МК = 2(a + b) — (a + b + (a^2 — b^2)/(a + b)) — (a + b)*sqrt((a + b)^2 — 4ab)/((a + b)^2 — (a — b)^2) — (b*sqrt((a + b)^2 — 4ab))/((a + b)^2 — (a — b)^2) — 4(a + b)^2/((a + b)^2 — (a^2 — b^2))

МК = 2(a + b) — (a + b + (a^2 — b^2)/(a + b)) — (a + b)*sqrt((a + b)^2 — 4ab)/((a + b + a — b)*(a + b — a + b)) — (b*sqrt((a + b)^2 — 4ab))/((a + b + a — b)*(a + b — a + b)) — 4(a + b)^2/((a + b + a — b)*(a + b — a + b))

МК = 2(a + b) — (a + b + (a^2 — b^2)/(a + b)) — 2sqrt((a + b)^2 — 4ab)/(a — b) — 2sqrt((a + b)^2 — 4ab)/(b — a) — 4(a + b)^2/(2a*2b)

МК = 2(a + b) — (a + b + (a^2 — b^2)/(a + b)) — 4sqrt((a + b)^2 — 4ab)/(a — b) — 2(a + b)

МК = -(a^2 — b^2)/(a + b) — 4sqrt((a + b)^2 — 4ab)/(a — b)

Ответ: МК = -(a^2 — b^2)/(a + b) — 4sqrt((a + b)^2 — 4ab)/(a — b).

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *