Вопрос школьника
В парке растут ели, липы и сосны. Сосен и лип вместе 400, сосен и елей — 300, елей и лип — 440. Сколько в парке елей, сколько лип и сколько сосен?
Ответ от учителя
Для решения этой задачи можно использовать метод пересечения множеств.
Пусть множество A обозначает ели, множество B — липы, множество C — сосны. Тогда по условию задачи имеем:
|A ∩ B| = 400 (количество сосен и лип вместе)
|A ∩ C| = 300 (количество сосен и елей вместе)
|B ∩ C| = 440 (количество елей и лип вместе)
Также известно, что в парке растут ели, липы и сосны, то есть все элементы принадлежат объединению множеств A, B и C:
|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C|
Нам нужно найти количество элементов в каждом множестве A, B и C. Для этого воспользуемся формулой включений-исключений:
|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| — |A ∩ B| — |A ∩ C| — |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|
Подставляем известные значения:
|A| + |B| + |C| = |A ∩ B| + |A ∩ C| + |B ∩ C| — |A ∩ B ∩ C| + |A ∪ B ∪ C|
|A| + |B| + |C| = 400 + 300 + 440 — |A ∩ B ∩ C| + |A ∪ B ∪ C|
Осталось найти |A ∪ B ∪ C|. Для этого можно воспользоваться формулой:
|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| — |A ∩ B| — |A ∩ C| — |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|
Подставляем известные значения:
|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| — |A ∩ B| — |A ∩ C| — |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|
|A ∪ B ∪ C| = 400 + 300 + 440 — |A ∩ B ∩ C|
Таким образом, получаем систему уравнений:
|A| + |B| + |C| = 1140
|A ∪ B ∪ C| = 1140 — |A ∩ B ∩ C|
Осталось только найти |A ∩ B ∩ C|. Для этого воспользуемся формулой:
|A ∩ B ∩ C| = |A| + |B| + |C| — |A ∪ B| — |A ∪ C| — |B ∪ C| + |A ∪ B ∪ C|
Подставляем известные значения:
|A ∩ B ∩ C| = |A| + |B| + |C| — |A ∪ B| — |A ∪ C| — |B ∪ C| + |A ∪ B ∪ C|
|A ∩ B ∩ C| = 400 + 300 + 440 — |A ∪ B| — |A ∪ C| — |B ∪ C| + 1140 — |A ∩ B ∩ C|
|A ∩ B ∩ C| = 2280 — |A ∪ B| — |A ∪ C| — |B ∪ C| — |A ∩ B ∩ C|
Теперь мы можем найти все три значения:
|A ∩ B ∩ C| = 60
|A ∪ B ∪ C| = 1140 — 60 = 1080
|A| + |B| + |C| = 1080
Осталось решить систему уравнений:
|A ∩ B| = 400
|A ∩ C| = 300
|B ∩ C| = 440
|A| + |B| + |C| = 1080
Решая эту систему, получаем:
|A| = 240
|B| = 400
|C| = 440
Таким образом, в парке 240 елей, 400 лип и 440 сосен.
