В прямоугольной трапеции ABCD (ВС \ AD, АВ _I_ AD) известно, что ∠ADC = 40  BE — биссектриса угла АВС, DF — биссектриса угла АDС. Найдите угол DOE.

image_printРаспечатать ответ

Вопрос школьника

В прямоугольной трапеции ABCD (ВС \ AD, АВ _I_ AD) известно, что ∠ADC = 40  BE — биссектриса угла АВС, DF — биссектриса угла АDС. Найдите угол DOE.

Ответ от учителя

Поскольку BE является биссектрисой угла АВС, то ∠EBC = ∠EBV, где V — точка пересечения BE и AC. Также, поскольку трапеция ABCD прямоугольная, то ∠EBC = 90° — ∠ABC. Следовательно, ∠EBV = 90° — ∠ABC.

Аналогично, поскольку DF является биссектрисой угла АDС, то ∠CDF = ∠CDF, где W — точка пересечения DF и AC. Также, поскольку трапеция ABCD прямоугольная, то ∠CDF = 90° — ∠ADC. Следовательно, ∠CDW = 90° — ∠ADC.

Заметим, что ∠ABC + ∠ADC = 180°, так как это смежные углы в четырехугольнике ABCD. Следовательно, ∠ABC = 180° — ∠ADC = 140°.

Теперь рассмотрим треугольник BVE. Он является прямоугольным, так как ∠EBV = 90°. Также, поскольку ∠ABC = 140°, то ∠ABV = 180° — ∠ABC = 40°. Следовательно, ∠BVE = 50°.

Аналогично, рассмотрим треугольник CWD. Он также является прямоугольным, так как ∠CDW = 90°. Также, поскольку ∠ADC = 40°, то ∠ADW = 180° — ∠ADC = 140°. Следовательно, ∠CWD = 50°.

Теперь заметим, что треугольники BVE и CWD подобны, так как у них соответственные углы равны. Следовательно, соотношение сторон в этих треугольниках также равно: BV/CD = VE/WD.

Заметим, что BV = CD, так как это боковая сторона трапеции ABCD. Также, VE = WD, так как это биссектрисы углов трапеции. Следовательно, BV/CD = VE/WD = 1.

Таким образом, мы получили, что треугольники BVE и CWD равны. Следовательно, ∠BVE = ∠CWD = 50°.

Наконец, заметим, что треугольник DOE также является прямоугольным, так как один из его углов (угол O) равен 90°. Также, ∠BOE = ∠BVE + ∠EVO + ∠OCD = 50° + 90° + 50° = 190°. Аналогично, ∠DOE = ∠CWD + ∠DWO + ∠OWE = 50° + 90° + 50° = 190°.

Следовательно, угол DOE равен 180° — ∠BOE — ∠DOE = 180° — 190° — 190° = 0°.

Ответ: угол DOE равен 0°.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *