Вопрос школьника
В тетраэдре SABC точки T и K — середины ребер AB и SB. Вычислите длину отрезка, по которому пересекаются сечения тетраэдра плоскостями, проходящими через прямые ST и BK и параллельными прямой AC, если AB = 12 см.
Ответ от учителя
Для решения задачи нам нужно найти точки пересечения плоскостей, проходящих через прямые ST и BK и параллельные прямой AC. Затем мы найдем расстояние между этими точками.
Для начала найдем уравнение плоскости, проходящей через прямую ST и параллельную прямой AC. Для этого нам нужно найти векторное произведение векторов ST и AC, чтобы получить нормальный вектор к этой плоскости. Затем мы можем использовать точку S или T, чтобы найти уравнение плоскости.
Вектор ST можно найти, вычислив разность координат точек S и T:
ST = TS = (1/2)(AB) = 6 см
Вектор AC можно найти, вычислив разность координат точек A и C:
AC = CA = (3/2)(AB) = 18 см
Теперь мы можем найти нормальный вектор к плоскости, проходящей через прямую ST и параллельную прямой AC, используя векторное произведение:
n = ST x AC = (6, 0, 0) x (0, 0, 18) = (0, -108, 0)
Заметим, что нормальный вектор имеет нулевую координату в направлении оси x, что означает, что плоскость параллельна плоскости XY.
Теперь мы можем использовать точку S, чтобы найти уравнение плоскости:
0(x — 0) — 108(y — 0) + 0(z — 0) = 0
-108y = 0
y = 0
Таким образом, уравнение плоскости, проходящей через прямую ST и параллельную прямой AC, имеет вид y = 0.
Аналогично, мы можем найти уравнение плоскости, проходящей через прямую BK и параллельную прямой AC. Для этого мы найдем вектор BK и нормальный вектор к плоскости, используя векторное произведение. Затем мы можем использовать точку B или K, чтобы найти уравнение плоскости.
Вектор BK можно найти, вычислив разность координат точек B и K:
BK = KB = (1/2)(SB) = (1/2)(2AB) = 12 см
Нормальный вектор к плоскости можно найти, используя векторное произведение:
n = BK x AC = (12, 0, 0) x (0, 0, 18) = (0, -216, 0)
Заметим, что нормальный вектор также имеет нулевую координату в направлении оси x, что означает, что плоскость параллельна плоскости XY.
Теперь мы можем использовать точку B, чтобы найти уравнение плоскости:
0(x — 12) — 216(y — 0) + 0(z — 0) = 0
-216y = -12x
y = (1/18)x
Таким образом, уравнение плоскости, проходящей через прямую BK и параллельную прямой AC, имеет вид y = (1/18)x.
Теперь мы можем найти точки пересечения этих двух плоскостей. Для этого мы решим систему уравнений:
y = 0
y = (1/18)x
Из второго уравнения мы можем выразить x через y:
x = 18y
Подставляя это выражение в первое уравнение, получаем:
y = 0
Таким образом, точка пересечения этих двух плоскостей имеет координаты (0, 0, 0).
Наконец, мы можем найти расстояние между точками B и (0, 0, 0), чтобы получить длину отрезка, по которому пересекаются сечения тетраэдра плоскостями, проходящими через прямые ST и BK и параллельными прямой AC.
Расстояние между двумя точками можно найти, используя формулу:
d = √((x2 — x1)2 + (y2 — y1)2 + (z2 — z1)2)
Для точки B имеем координаты (12, 0, 0), поэтому:
d = √((0 — 12)2 + (0 — 0)2 + (0 — 0)2) = √144 = 12 см
Таким образом, длина отрезка, по которому пересекаются сечения тетраэдра плоскостями, проходящими через прямые ST и BK и параллельными прямой AC, равна 12 см.
