Вопрос школьника
В трапеции ABCD АВ = CD, ВС = 6√2 см, BAC = 30 CAD = 45°. Найдите боковую сторону трапеции и радиус окружности, описанной около трапеции
Ответ от учителя
Для решения задачи воспользуемся теоремой косинусов для треугольника. Обозначим боковую сторону трапеции как х.
В треугольнике ABC:
AC² = AB² + BC² — 2AB·BC·cos(BAC)
AC² = x² + (6√2)² — 2x·6√2·cos(30°)
AC² = x² + 72 — 12x
В треугольнике ACD:
AC² = AD² + CD² — 2AD·CD·cos(CAD)
AC² = (x+CD)² + CD² — 2(x+CD)·CD·cos(45°)
AC² = x² + 2xCD + CD² + CD² — 2xCD·√2
AC² = x² + 2xCD(1-√2) + 2CD²
Так как AB = CD, то CD = x. Подставляем это во второе уравнение и приравниваем к первому:
x² + 72 — 12x = x² + 2x(1-√2) + 2x²
3x² — 2x(1+√2) — 72 = 0
Решаем квадратное уравнение:
x = (2(1+√2) ± √(4(1+√2)² + 4·3·72)) / (2·3)
x ≈ 16,5 см
Теперь найдем радиус окружности, описанной около трапеции. Обозначим его как R. Радиус описанной окружности равен половине диагонали трапеции. Диагональ трапеции равна:
BD = √(AB² + AD²) = √(x² + (2x)²) = √(5x²) = x√5
Тогда радиус описанной окружности:
R = BD/2 = (x√5)/2 ≈ 11,7 см
Ответ: боковая сторона трапеции равна примерно 16,5 см, радиус окружности, описанной около трапеции, равен примерно 11,7 см.
