Вопрос школьника
В трапецию ABCD можно вписать окружность. Известно, что АВ = CD = 10 см, AD = 16 см. Найдите:
б) длину окружности, вписанной в трапецию;
в) площадь круга, описанного около трапеции.
Ответ от учителя
а) Поскольку в трапецию ABCD можно вписать окружность, то это означает, что точки касания окружности с сторонами трапеции делят каждую сторону на две равные части. Обозначим точки касания как E и F (см. рисунок).
Тогда AE = EF = FB = x, а BD = DC = y. Также известно, что AB = CD = 10 см и AD = 16 см.
Из треугольника AEF можно выразить x через радиус окружности r:
x + x + 16 = 2r
2x + 16 = 2r
x + 8 = r
Из треугольника BDF можно выразить y через r:
y + y + 10 = 2r
2y + 10 = 2r
y + 5 = r
Теперь можно найти длину окружности, вписанной в трапецию. Она равна периметру трапеции:
P = AB + BC + CD + DA = 10 + 2x + 10 + 2y = 20 + 2(x + y)
P = 20 + 2(x + y) = 20 + 2(8 + 5) = 46 см
б) Длина окружности, вписанной в трапецию, равна периметру трапеции, поэтому ответом является 46 см.
в) Чтобы найти площадь круга, описанного около трапеции, нужно найти радиус описанной окружности. Для этого можно воспользоваться теоремой Пифагора для треугольника ABD:
AB^2 + BD^2 = AD^2
10^2 + (2r)^2 = 16^2
100 + 4r^2 = 256
4r^2 = 156
r^2 = 39
r = √39 ≈ 6,24 см
Тогда площадь круга равна:
S = πr^2 = π(√39)^2 ≈ 122,52 см^2
Ответ: площадь круга, описанного около трапеции, равна примерно 122,52 см^2.
