Вопрос школьника
В треугольнике ABC биссектриса угла A делит высоту, проведенную из вершины B в отношении 5:3, считая от точки B. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC, если BC=8
Ответ от учителя
Пусть точка пересечения биссектрисы угла A и высоты, проведенной из вершины B, обозначена как точка D. Тогда мы знаем, что BD:DC = 5:3, так как биссектриса делит сторону AC в таком же отношении.
Также мы знаем, что высота, проведенная из вершины B, равна расстоянию от точки D до стороны AC. Обозначим это расстояние как h. Тогда мы можем записать, что:
BD + DC = BC = 8
5/3 DC + DC = 8
8/3 DC = 8
DC = 3
BD = 5
Теперь мы можем использовать формулу для радиуса описанной окружности в треугольнике:
R = (abc)/(4S)
где a, b, c — длины сторон треугольника, S — его площадь.
Мы уже знаем, что BC = 8. Для нахождения длин других сторон нам понадобится теорема Пифагора:
AB^2 = BD^2 + AD^2
AC^2 = DC^2 + AD^2
Мы можем выразить AD из обоих уравнений и приравнять их:
BD^2 + AD^2 = DC^2 + AD^2
BD^2 — DC^2 = AD^2 — AD^2
BD^2 — DC^2 = 0
BD^2 = DC^2
Таким образом, мы можем сказать, что AB = BD = 5, AC = DC = 3.
Теперь осталось найти площадь треугольника. Мы можем использовать формулу для площади через высоту:
S = (1/2)bh
где b — длина основания треугольника, h — высота.
Мы знаем, что высота, проведенная из вершины B, равна h. Также мы можем найти основание треугольника, используя теорему Пифагора:
BC^2 = AB^2 + AC^2
8^2 = 5^2 + 3^2
64 = 34
b = 2√34
Теперь мы можем найти площадь:
S = (1/2)(2√34)(h)
S = √34h
Таким образом, радиус описанной окружности будет:
R = (abc)/(4S)
R = (5)(3)(2√34)/(4√34h)
R = (15/2)h
Мы знаем, что h = 3/2, так как высота, проведенная из вершины B, делится биссектрисой в отношении 5:3. Подставляя это значение, мы получаем:
R = (15/2)(3/2)
R = 22.5/2
R = 11.25
Таким образом, радиус описанной окружности треугольника ABC равен 11.25.
