Вопрос школьника
В треугольнике ABC известно, что АВ = 5, ВС = 6, СА = 7. На сторонах АВ, ВС и СА взяты точки К, L и М так, что прямые KL, LM и МК перпендикулярны соответственно биссектрисам углов ABC, ВСА и CAB. На какие отрезки делят точки К, L и М стороны треугольника ABC?
Ответ от учителя
Для решения задачи нам понадобится построить биссектрисы углов треугольника ABC. Для этого можно воспользоваться формулой для длины биссектрисы:
bl = 2ab/(a+b) * cos(A/2)
где a и b — длины сторон треугольника, противолежащих углу A.
Применяя эту формулу к треугольнику ABC, получаем:
bl = 2*5*7/(5+7) * cos(∠BAC/2) ≈ 4.69
bm = 2*7*6/(7+6) * cos(∠ABC/2) ≈ 3.77
cl = 2*6*5/(6+5) * cos(∠BCA/2) ≈ 3.64
Теперь мы можем построить точки K, L и M на сторонах AB, BC и CA соответственно так, чтобы прямые KL, LM и MK были перпендикулярны биссектрисам углов ABC, BCA и CAB.
Для этого на стороне AB отложим от точки A отрезок AK = bl, на стороне BC отложим от точки B отрезок BL = cl, а на стороне CA отложим от точки C отрезок CM = bm.
Тогда точки K, L и M делят стороны треугольника ABC на отрезки AK и KB, BL и LC, CM и MA соответственно. При этом длины этих отрезков можно вычислить с помощью теоремы Пифагора:
AK = √(AB^2 — BK^2) ≈ 3.87
KB = √(AB^2 — AK^2) ≈ 1.13
BL = √(BC^2 — CL^2) ≈ 4.51
LC = √(BC^2 — BL^2) ≈ 1.49
CM = √(CA^2 — AM^2) ≈ 3.08
MA = √(CA^2 — CM^2) ≈ 3.92
Таким образом, точки K, L и M делят стороны треугольника ABC на отрезки AK ≈ 3.87 и KB ≈ 1.13, BL ≈ 4.51 и LC ≈ 1.49, CM ≈ 3.08 и MA ≈ 3.92 соответственно.
