Вопрос школьника
В треугольнике ABC медианы CD и BE пересекаются в точке К. Найдите площадь четырехугольника ADKE, если BC = 20 см, AC = 12 см, а угол ACB равен 135 градусам
Ответ от учителя
Для решения задачи нам понадобится использовать свойство медиан треугольника: медиана делит сторону треугольника пополам и создает две равные по площади треугольные области.
Обозначим точку пересечения медиан как К. Тогда медиана CD делит сторону AB пополам, а медиана BE делит сторону AC пополам. Таким образом, мы можем найти длины отрезков AK, KD, AE и EC.
Для начала найдем длину стороны AB. Используем теорему косинусов для треугольника ABC:
$BC^2 = AB^2 + AC^2 — 2AB cdot AC cdot cos(angle ACB)$
$20^2 = AB^2 + 12^2 — 2AB cdot 12 cdot cos(135^circ)$
$400 = AB^2 + 144 + 24sqrt{2} AB$
$AB^2 + 24sqrt{2} AB — 256 = 0$
Решая квадратное уравнение, получаем:
$AB = 8sqrt{2}$
Теперь можем найти длины отрезков AK, KD, AE и EC. Так как медиана делит сторону пополам, то:
$AK = KB = frac{AB}{2} = 4sqrt{2}$
$CE = EA = frac{AC}{2} = 6$
Также можем найти длину отрезка KD, используя теорему Пифагора для треугольника AKB:
$KD^2 = AK^2 + KB^2 = (4sqrt{2})^2 + (4sqrt{2})^2 = 32$
$KD = 4sqrt{2}$
Теперь можем найти площадь четырехугольника ADKE. Разобьем его на два треугольника: AKE и DKC.
Площадь треугольника AKE:
$S_{AKE} = frac{1}{2} cdot AK cdot AE = frac{1}{2} cdot 4sqrt{2} cdot 6 = 12sqrt{2}$
Площадь треугольника DKC:
$S_{DKC} = frac{1}{2} cdot KD cdot DC = frac{1}{2} cdot 4sqrt{2} cdot frac{2}{3} cdot BC = frac{16sqrt{2}}{3}$
Таким образом, площадь четырехугольника ADKE равна:
$S_{ADKE} = S_{AKE} + S_{DKC} = 12sqrt{2} + frac{16sqrt{2}}{3} = frac{52sqrt{2}}{3}$
Ответ: площадь четырехугольника ADKE равна $frac{52sqrt{2}}{3}$ квадратных сантиметра.
