Вопрос школьника
В треугольнике ABC проведена высота BD. Отрезок КА перпендикулярен к отрезку АВ и равен отрезку DC, отрезок СМ перпендикулярен к отрезку ВС и равен отрезку AD. Докажите, что отрезки MB и КВ равны
Ответ от учителя
Для доказательства равенства отрезков MB и КВ воспользуемся теоремой о перпендикулярных биссектрисах в треугольнике.
Из условия задачи следует, что отрезки КА и СМ являются высотами треугольника ABC, а значит, точки К и С лежат на описанной окружности треугольника ABC с диаметром АС.
Также из условия задачи следует, что отрезки КА и DC равны, а отрезки СМ и AD равны. Значит, треугольники КАС и DCA равны по двум сторонам и углу между ними (по стороне КА, стороне DC и углу между ними, образованному высотой BD).
Отсюда следует, что углы КАС и DCA равны, а значит, точки К и С делят отрезок АС пополам. Таким образом, отрезок КВ является биссектрисой угла АBC.
Аналогично, можно доказать, что отрезок МВ является биссектрисой угла ACB.
Таким образом, отрезки МВ и КВ являются перпендикулярными биссектрисами в треугольнике ABC, а значит, они равны.
