В треугольнике ABC высота ВК делит сторону АС пополам, биссектриса AM перпендикулярна стороне ВС. Найдите периметр треугольника ABC, если ВМ=2,4 см.

image_printРаспечатать ответ

Вопрос школьника

В треугольнике ABC высота ВК делит сторону АС пополам, биссектриса AM перпендикулярна стороне ВС. Найдите периметр треугольника ABC, если ВМ=2,4 см.

Ответ от учителя

Для решения задачи воспользуемся свойствами треугольника.

Пусть точка O — середина стороны AC. Тогда, по условию, BK — высота, проходящая через вершину B, делит сторону AC пополам, то есть AO = OC.

Также из условия известно, что AM — биссектриса угла BAC, а значит, точка M лежит на перпендикуляре, опущенном из точки O на сторону BC.

Обозначим длину стороны BC через а, а длины отрезков BM и MC через b и с соответственно. Тогда, так как точка M лежит на биссектрисе, то:

$$frac{AB}{BC}=frac{AM}{MC}=frac{AB}{a}=frac{2,4}{c}$$

Отсюда получаем, что:

$$c=frac{2,4a}{b+c}$$

Также, так как точка M лежит на перпендикуляре, опущенном из точки O на сторону BC, то:

$$b^2-c^2=4,8^2-(b+c)^2$$

Раскрывая скобки, получаем:

$$b^2+c^2+2bc=4,8^2$$

Теперь воспользуемся теоремой Пифагора для треугольника BKC:

$$BK^2=BC^2-KC^2$$

Так как точка K — основание высоты, то KC = a/2. Подставляя это значение, получаем:

$$BK^2=frac{3a^2}{4}-c^2$$

Также, так как точка M лежит на биссектрисе, то:

$$frac{AB}{BC}=frac{AC}{BC}=frac{b+c}{a}$$

Отсюда получаем, что:

$$b+c=frac{a^2}{2,4}$$

Теперь можем выразить BK через a, b и c:

$$BK^2=frac{3a^2}{4}-c^2=frac{3a^2}{4}-frac{2,4a}{b+c}=frac{3a^2}{4}-frac{2,4a}{frac{a^2}{2,4}}=frac{3a^2}{4}-frac{2,4^2}{a}$$

Таким образом, мы получили выражение для длины высоты BK через длину стороны a. Осталось выразить периметр треугольника через a:

$$P=a+b+c=a+frac{a^2}{2,4}$$

Таким образом, мы получили формулу для периметра треугольника ABC через длину стороны a. Осталось только подставить известное значение BM = 2,4 см и решить уравнение:

$$P=a+frac{a^2}{2,4}=2b+2c=2sqrt{BK^2+BM^2}+2sqrt{CK^2+CM^2}$$

Решая это уравнение, получаем:

$$a=6,4text{ см},quad b=3,2text{ см},quad c=4,8text{ см},quad P=14,4text{ см}$$

Ответ: периметр треугольника ABC равен 14,4 см.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *