Вопрос школьника
Вершина одного основания параллелепипеда находится на одинаковом расстоянии от всех вершин другого основания. Найдите площадь полной поверхности параллелепипеда, если основанием параллелепипеда служит квадрат, длина стороны которого равна а, а длина бокового ребра — b.
Ответ от учителя
Пусть вершина одного основания параллелепипеда находится на расстоянии h от всех вершин другого основания. Тогда, так как основание параллелепипеда является квадратом, то высота параллелепипеда равна h, а длина бокового ребра равна b.
Рассмотрим боковую грань параллелепипеда, которая перпендикулярна к основанию и проходит через вершину, находящуюся на расстоянии h от основания. Эта грань является прямоугольным треугольником со сторонами h, a и b. По теореме Пифагора получаем:
$b^2 = h^2 + a^2$
Отсюда находим:
$h = sqrt{b^2 — a^2}$
Теперь можем найти площадь боковой поверхности параллелепипеда:
$S_{бок} = 2ab + 2bh = 2ab + 2bsqrt{b^2 — a^2}$
Площадь оснований параллелепипеда равна $S_{осн} = a^2$. Таким образом, площадь полной поверхности параллелепипеда равна:
$S_{полн} = 2S_{осн} + S_{бок} = 2a^2 + 2ab + 2bsqrt{b^2 — a^2}$
Ответ: $S_{полн} = 2a^2 + 2ab + 2bsqrt{b^2 — a^2}$
