Вопрос школьника
Вычислите объем правильной четырехугольной пирамиды, если радиус окружности, описанной около ее диагонального сечения, равен 1 см, а длина стороны основания равна √2 см.
Ответ от учителя
Для вычисления объема правильной четырехугольной пирамиды необходимо знать ее высоту и площадь основания.
Площадь основания можно найти по формуле S = a^2, где a — длина стороны основания. В данном случае a = √2, поэтому S = (√2)^2 = 2 см^2.
Чтобы найти высоту пирамиды, необходимо разделить диагональ сечения на 2. Радиус окружности, описанной около диагонального сечения, равен 1 см, значит, диаметр равен 2 см. По теореме Пифагора находим длину боковой грани основания:
a^2 + a^2 = (диаметр)^2
2a^2 = 4
a^2 = 2
a = √2
Таким образом, высота пирамиды равна h = √(1^2 — (√2/2)^2) = √(1 — 1/2) = √1/2 = √2/2 см.
Теперь можем найти объем пирамиды по формуле V = (1/3)Sh, где S — площадь основания, h — высота. Подставляем значения:
V = (1/3) * 2 см^2 * (√2/2) см
V = (√2/3) см^3
Ответ: объем правильной четырехугольной пирамиды равен (√2/3) см^3.
