Вопрос школьника
Вычислите площадь основания и высоту конуса, если развёрткой его боковой поверхности является сектор, радиус которого равен 9 см, а дуга равна 120°.
Ответ от учителя
Для решения задачи нам нужно знать, что боковая поверхность конуса представляет собой развернутый сектор, а его площадь вычисляется по формуле:
Sбок = πrL,
где r — радиус основания конуса, L — образующая конуса.
Также нам известно, что дуга сектора равна 120°, что составляет 1/3 от полного угла в 360°. Значит, площадь сектора можно вычислить по формуле:
Sсектора = (1/3)πr^2,
где r — радиус сектора.
Так как боковая поверхность конуса является развернутым сектором, то ее площадь равна площади сектора:
Sбок = Sсектора.
Подставляя значения, получаем:
πrL = (1/3)πr^2.
Упрощая выражение, получаем:
L = (1/3)r.
Теперь нам нужно найти высоту конуса. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного радиусом основания, образующей и высотой конуса:
r^2 = h^2 + L^2.
Подставляя значение L, получаем:
r^2 = h^2 + (1/9)r^2.
Упрощая выражение, получаем:
h = √(8/9)r.
Теперь мы можем найти площадь основания конуса. Для этого воспользуемся формулой для площади круга:
Sосн = πr^2.
Подставляя значение радиуса, получаем:
Sосн = π(9 см)^2 = 81π см^2.
Таким образом, мы нашли площадь основания и высоту конуса:
Sосн = 81π см^2,
h = √(8/9) × 9 см ≈ 2,83 см.
