Вопрос школьника
Докажите равенство тупоугольных треугольников по высоте, проведённой из вершины острого угла, и двум другим углам.
Ответ от учителя
Рассмотрим тупоугольный треугольник ABC, в котором угол C является тупым. Проведем высоту CH из вершины C на сторону AB. Тогда треугольник CHB будет прямоугольным, а треугольник ACH будет остроугольным.
По определению высоты, угол HCB будет прямым, а значит, угол ACH будет дополнительным к углу HCB. То есть, угол ACH + угол HCB = 90 градусов.
Также, по определению тупоугольного треугольника, угол ACB является тупым, а значит, угол ACH + угол BCH = 180 градусов.
Из этих двух уравнений можно выразить угол BCH: угол BCH = 180 градусов — угол ACH.
Подставим это выражение в уравнение углов ACH + HCB = 90 градусов: ACH + (180 градусов — ACH) = 90 градусов.
Решив это уравнение, получим: ACH = 45 градусов.
Таким образом, угол ACH равен 45 градусов, а угол BCH равен 135 градусов. А значит, углы A и B в треугольнике ABC равны соответственно 45 и 90 градусов.
Рассмотрим теперь треугольник A’B’C’, в котором проведена высота C’H’ из вершины C’ на сторону A’B’. Аналогично, можно доказать, что угол A’C’H’ равен 45 градусов, а угол B’C’H’ равен 135 градусов.
Таким образом, треугольники ABC и A’B’C’ имеют равные углы при вершине C и прилежащие к ним стороны, а значит, они равны по двум углам и стороне между ними.
