Вопрос школьника
Докажите, что медиана прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы.
Ответ от учителя
Для доказательства данного утверждения воспользуемся свойствами медианы и прямоугольного треугольника.
Медиана – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная из вершины прямого угла, делит гипотенузу на две равные части.
Для доказательства этого факта рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, где угол C прямой, а медиана AM проведена из вершины A к середине стороны BC.
Так как треугольник ABC прямоугольный, то по теореме Пифагора:
AB² = AC² + BC²
Также из свойств медианы следует, что:
BM = MC = ½BC
Тогда:
AC² + BM² = AB²
AC² + (½BC)² = AB²
AC² + BC²/4 = AB²
Умножим обе части последнего равенства на 4:
4AC² + BC² = 4AB²
Так как медиана AM делит гипотенузу на две равные части, то AM = MB = MC = ½AB. Поэтому:
4AC² + 4AM² = 4AB²
4(AC² + AM²) = 4AB²
AC² + AM² = AB²/4
Но AC – это половина гипотенузы, так как треугольник ABC прямоугольный, а AM – это медиана, проведенная из вершины прямого угла. Таким образом, получаем:
AC² + AM² = AB²/4
(½AB)² + AM² = AB²/4
AB²/4 + AM² = AB²/4
AM² = AB²/4
AM = AB/2
Таким образом, мы доказали, что медиана прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы.
