Вопрос школьника
Прямая BD — ось симметрии четырёхугольника ABCD. Найдите периметр четырёхугольника ABCD, если AD = 5 см, ВС= 3 см.
Ответ от учителя
Так как прямая BD является осью симметрии четырёхугольника ABCD, то сторона AB равна стороне CD, а сторона BC равна стороне AD. Обозначим сторону AB через x, тогда сторона CD также равна x. Также из условия известно, что AD = 5 см и ВС = 3 см.
Таким образом, периметр четырёхугольника ABCD равен:
AB + BC + CD + AD = x + BC + x + 5
Осталось найти значение стороны BC. Рассмотрим треугольник BCD. Так как BD является осью симметрии, то угол BDC равен углу BCD. Также угол BCD равен 90 градусов, так как ABCD — четырёхугольник. Значит, треугольник BCD является прямоугольным и мы можем воспользоваться теоремой Пифагора:
BC^2 = BD^2 — CD^2 = (AD — BC)^2 — x^2
BC^2 = 25 — x^2 — 2xAD*BC + BC^2 — x^2
2xBC^2 — 2xAD*BC — 25 + x^2 = 0
BC = (2xAD ± √(4xAD^2 + 200 — 4x^2)) / 4
BC = (xAD ± √(xAD^2 + 50 — x^2)) / 2
Так как BC не может быть отрицательным, то выбираем знак «+». Подставляем полученное значение в формулу для периметра:
P = x + BC + x + 5 = 2x + 5 + x/2 + √(xAD^2 + 50 — x^2)/2
Осталось найти значение x, для этого воспользуемся теоремой Пифагора для треугольника ABD:
x^2 + (xAD — 3)^2 = 25
x^2 + xAD^2 — 6xAD + 9 = 25
x^2 = 16 — xAD^2 + 6xAD
Подставляем полученное значение x в формулу для периметра и получаем окончательный ответ:
P = 2√(16 — xAD^2 + 6xAD) + 5 + √(xAD^2 + 50 — (16 — xAD^2 + 6xAD))/2
P = √(64 — 2xAD^2 + 12xAD) + 5 + √(xAD^2 + 34 + 3xAD)/2
P = 1/2(√(128 — 2xAD^2 + 24xAD) + √(4xAD^2 + 136 + 12xAD)) + 5
