Вопрос школьника
Ответь развернуто и подробно на вопрос — Діагональ АС паралелограма АВСО є бісектрисою кута А.
Доведіть, що діагоналі паралелограма перпендикулярні
Ответ от учителя
Для доведення того, что диагонали параллелограмма перпендикулярны, нам необходимо воспользоваться свойствами параллелограмма и теоремой о биссектрисе угла.
Из свойств параллелограмма мы знаем, что противоположные стороны параллельны. Поэтому мы можем записать, что сторона АВ параллельна стороне СО, а сторона АС параллельна стороне ВО.
Теперь рассмотрим угол АСО. По условию, диагональ АС является биссектрисой угла А. Это означает, что угол АСО равен углу АВО.
Теперь мы можем воспользоваться теоремой о биссектрисе угла, которая гласит: «Если биссектриса угла пересекает сторону угла, то она делит эту сторону на две части пропорционально двум другим сторонам угла».
Применяя эту теорему к треугольнику АВО, мы можем записать:
$$frac{AO}{OC}=frac{AB}{BC}$$
Так как сторона АВ параллельна стороне СО, то углы АВО и СОА являются соответственными и равны между собой. Аналогично, углы АОС и ВОС являются соответственными и равны между собой.
Таким образом, мы можем записать:
$$frac{AO}{OC}=frac{AB}{BC}=frac{AO+OB}{OC+OB}$$
Из этого равенства следует, что AO/OC=OB/OC, то есть диагонали АО и ВО делят сторону СО на две равные части. Аналогично, диагонали АС и ВС делят сторону ВО на две равные части.
Таким образом, мы доказали, что диагонали параллелограмма перпендикулярны, так как они делят друг друга пополам и являются биссектрисами углов.
