Вопрос школьника
Докажите, что биссектриса внешнего угла при вершине равнобедренного треугольника параллельна основанию
Ответ от учителя
Для начала, рассмотрим определение биссектрисы внешнего угла при вершине треугольника. Биссектрисой внешнего угла при вершине называется отрезок, который делит этот угол на два равных угла и продолжается за вершину до пересечения с продолжением противоположной стороны треугольника.
Теперь рассмотрим равнобедренный треугольник. В равнобедренном треугольнике две стороны равны между собой, а значит, два угла при основании также равны между собой. Пусть биссектриса внешнего угла при вершине этого треугольника пересекает продолжение противоположной стороны в точке М (см. рисунок).
Так как угол ACD равен углу ABC, то треугольники ACD и ABC подобны. А значит, соответствующие стороны этих треугольников пропорциональны. То есть:
AC/AB = AD/AC
Из этого следует, что AC^2 = AB*AD.
Аналогично, треугольники ABD и ABC подобны, и мы можем записать:
AB/AC = BD/AB
Откуда AB^2 = AC*BD.
Таким образом, мы получили два равенства:
AC^2 = AB*AD
AB^2 = AC*BD
Разделим первое равенство на второе:
AC^2/AB^2 = AD/BD
Так как угол ACD равен углу ABC, то треугольники ACD и ABD подобны. А значит, соответствующие стороны этих треугольников пропорциональны. То есть:
AC/AB = AD/BD
Из этого следует, что AC/AB = AD/BD = AC+AD/AB+BD.
Так как AC+AD = CD, а AB+BD = AD, то мы можем записать:
AC/AB = CD/AD
Откуда следует, что биссектриса внешнего угла при вершине равнобедренного треугольника параллельна основанию. Доказательство завершено.
