Вопрос школьника
Докажите, что четыре вершины правильного восьмиугольника, взятые через одну, служат вершинами квадрата.
Ответ от учителя
Правильный восьмиугольник имеет восемь равных сторон и восемь равных углов. Пусть A, B, C и D — четыре вершины восьмиугольника, взятые через одну. Тогда угол между любыми двумя соседними вершинами равен 45 градусам, так как восьмиугольник имеет восемь равных углов.
Рассмотрим треугольник ABD. Так как угол ABD равен 45 градусам, а угол ADB также равен 45 градусам, то треугольник ABD является равнобедренным. Значит, сторона AB равна стороне BD.
Аналогично, рассмотрим треугольник BCD. Так как угол BCD равен 45 градусам, а угол CBD также равен 45 градусам, то треугольник BCD является равнобедренным. Значит, сторона BC равна стороне CD.
Таким образом, мы получили, что сторона AB равна стороне BD, а сторона BC равна стороне CD. Следовательно, сторона AB равна стороне BC, и треугольник ABD равен треугольнику BCD.
Так как треугольники ABD и BCD равны, то у них равны соответствующие углы. Значит, угол ADB равен углу CBD, который также равен 45 градусам. Таким образом, угол ADB равен 90 градусам.
Итак, мы получили, что сторона AB равна стороне BC, угол ADB равен 90 градусам, а угол между сторонами AB и AD равен 90 градусам (так как это угол восьмиугольника). Значит, треугольник ABD является прямоугольным, и сторона AB равна стороне AD.
Таким образом, мы доказали, что четыре вершины правильного восьмиугольника, взятые через одну, служат вершинами квадрата.
