Вопрос школьника
Основи трапеції дорівнюють а і Ь. В якому відношенні
діляться діагоналі трапеції точкою їх перетину?
Ответ от учителя
Для розв’язання цього завдання використовуємо властивості трапеції.
Діагоналі трапеції діляться точкою їх перетину на дві рівні частини. Тобто, якщо позначити точку перетину діагоналей як О, то О є серединою діагоналі MO і діагоналі NP.
Для знаходження відношення діагоналей трапеції, використовуємо теорему Піфагора для трикутника MON і трикутника NOP:
$OM^2 + MN^2 = ON^2$
$NP^2 + NO^2 = OP^2$
Оскільки діагоналі трапеції діляться точкою перетину на дві рівні частини, то MO = NP і MN = NO.
Підставляємо ці значення в формули:
$OM^2 + MN^2 = ON^2$
$NP^2 + NO^2 = OP^2$
$OM^2 + NO^2 = ON^2$
$NP^2 + NO^2 = OP^2$
Оскільки основи трапеції дорівнюють а і Ь, то MO = NP = (a + b) / 2.
Підставляємо це значення в формули:
$(a + b)^2 / 4 + MN^2 = ON^2$
$(a + b)^2 / 4 + NO^2 = OP^2$
$(a + b)^2 / 4 + NO^2 = ON^2$
$(a + b)^2 / 4 + MN^2 = OP^2$
Оскільки діагоналі діляться точкою перетину на дві рівні частини, то ON = OP.
Підставляємо це значення в формули:
$(a + b)^2 / 4 + MN^2 = ON^2$
$(a + b)^2 / 4 + NO^2 = ON^2$
$(a + b)^2 / 4 + NO^2 = ON^2$
$(a + b)^2 / 4 + MN^2 = ON^2$
$(a + b)^2 / 4 + NO^2 = (a + b)^2 / 2$
$(a + b)^2 / 4 + NO^2 = (a + b)^2 / 2$
$NO^2 = (a + b)^2 / 4$
$MN^2 = (a — b)^2 / 4$
Отже, відношення діагоналей трапеції дорівнює:
$ON / MN = sqrt{(a + b)^2 / 4} / sqrt{(a — b)^2 / 4} = sqrt{(a + b)^2} / sqrt{(a — b)^2} = (a + b) / (a — b)$
Таким чином, діагоналі трапеції діляться відношенням (a + b) / (a — b).
