Вопрос школьника
Докажите, что для углов 90° < ZA < 180° имеют место тождества 1 + t g2A = 1/cos2A; 1 + ctg2 А = 1/sin2A.
Ответ от учителя
Для начала, вспомним основные тригонометрические соотношения:
sin^2A + cos^2A = 1
tgA = sinA/cosA
ctgA = cosA/sinA
Теперь рассмотрим первое тождество:
1 + tg^2A = 1/cos^2A
Для доказательства этого тождества воспользуемся тригонометрическими соотношениями:
tg^2A = sin^2A/cos^2A
1/cos^2A = 1 + tg^2A + 2tg^2A
Подставляем первое выражение во второе:
1/cos^2A = 1 + sin^2A/cos^2A + 2sin^2A/cos^2A
1/cos^2A = cos^2A/cos^2A + sin^2A/cos^2A
1/cos^2A = 1
Таким образом, мы доказали первое тождество.
Теперь рассмотрим второе тождество:
1 + ctg^2A = 1/sin^2A
Для доказательства этого тождества воспользуемся тригонометрическими соотношениями:
ctg^2A = cos^2A/sin^2A
1/sin^2A = 1 + ctg^2A — 2ctg^2A
Подставляем первое выражение во второе:
1/sin^2A = 1 + cos^2A/sin^2A — 2cos^2A/sin^2A
1/sin^2A = sin^2A/sin^2A + cos^2A/sin^2A
1/sin^2A = 1
Таким образом, мы доказали второе тождество.
Итак, мы доказали, что для углов 90° < ZA < 180° имеют место тождества 1 + tg^2A = 1/cos^2A и 1 + ctg^2A = 1/sin^2A.
