Вопрос школьника
В треугольнике ABC провели средние линии MK, KN и MN, M ∈ AB, N ∈ BC, K ∈ AC.
Докажите, что ABC NKM
Ответ от учителя
Для начала, давайте определим, что такое средняя линия треугольника. Средняя линия — это отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника. В данном случае, средние линии MK, KN и MN соединяют середины сторон AB, BC и AC соответственно.
Теперь, чтобы доказать, что треугольники ABC и NKM равны, мы можем использовать два метода: метод равных углов и метод равных сторон.
Метод равных углов:
Для начала, заметим, что средняя линия MK является медианой треугольника ABC, проходящей через вершину C. Аналогично, средняя линия KN является медианой, проходящей через вершину A, а средняя линия MN — медианой, проходящей через вершину B.
Таким образом, мы можем сделать вывод, что точка пересечения средних линий треугольника ABC является точкой пересечения медиан этого треугольника. Эта точка называется центром тяжести треугольника и обозначается буквой G.
Теперь, заметим, что средняя линия MK делит треугольник ABC на два треугольника: AMK и CMK. Аналогично, средняя линия KN делит треугольник ABC на два треугольника: AKN и BCN, а средняя линия MN делит треугольник ABC на два треугольника: BMN и CMN.
Так как средние линии являются медианами, то они делят соответствующие стороны треугольников на две равные части. Таким образом, мы можем сделать вывод, что стороны треугольников AMK, AKN, BMN и CMN равны соответствующим сторонам треугольника ABC.
Теперь, заметим, что треугольники AMK и AKN имеют общую сторону AK и равные стороны AM и AN. Таким образом, эти треугольники равны по двум сторонам и углу между ними (угол MAK).
Аналогично, треугольники BMN и CMN равны по двум сторонам и углу между ними (угол MCN).
Таким образом, мы доказали, что треугольники AMK, AKN, BMN и CMN равны соответствующим треугольникам ABC по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, треугольники ABC и NKM равны.
Метод равных сторон:
Для начала, заметим, что средняя линия MK является медианой треугольника ABC, проходящей через вершину C. Аналогично, средняя линия KN является медианой, проходящей через вершину A, а средняя линия MN — медианой, проходящей через вершину B.
Так как средняя линия является медианой, то она делит соответствующую сторону треугольника на две равные части. Таким образом, мы можем сделать вывод, что стороны треугольников AMK, AKN, BMN и CMN равны соответствующим сторонам треугольника ABC.
Теперь, заметим, что треугольники AMK и BMN имеют общую сторону MK и равные стороны AM и BM. Таким образом, эти треугольники равны по двум сторонам.
Аналогично, треугольники AKN и CMN равны по двум сторонам.
Таким образом, мы доказали, что треугольники AMK, AKN, BMN и CMN равны соответствующим треугольникам ABC по двум сторонам. Следовательно, треугольники ABC и NKM равны.
В обоих методах мы пришли к одному и тому же выводу: треугольники ABC и NKM равны.
