Вопрос школьника
Окружность с центром O вписана в угол BAC, B и C — точки касания. Отрезки AO и BC пересекаются в точке K, OK = 2 см, OB = 4 см. Найдите длину отрезка AK
Ответ от учителя
Для решения задачи воспользуемся свойством вписанного угла: угол между хордой и касательной к окружности равен углу, опирающемуся на эту хорду.
Пусть точка пересечения отрезков AO и BC равна K, а точка касания окружности с стороной AB равна M. Тогда угол BKM равен углу BAC, а угол KMB равен углу BMA. Так как угол BMA равен 90 градусов (так как BM — радиус окружности), то угол KMB также равен 90 градусов.
Таким образом, треугольник KMB является прямоугольным, и мы можем воспользоваться теоремой Пифагора:
$KB^2 = BM^2 + MK^2$
Но так как BM равен радиусу окружности, а значит, равен расстоянию от центра O до стороны AB, то BM = CM = r, где r — радиус окружности. Также, так как точка K лежит на отрезке AO, то AK = AO — OK.
Таким образом, мы можем записать:
$KB^2 = r^2 + MK^2$
$OB^2 = r^2 + BM^2 = r^2 + r^2 = 2r^2$
$OK^2 = 4$
$AK^2 = AO^2 + OK^2 — 2 cdot AO cdot OK cdot cos angle AOK$
$AK^2 = (OB — OK)^2 + OK^2 — 2 cdot (OB — OK) cdot OK cdot cos angle AOK$
$AK^2 = OB^2 — 2 cdot OB cdot OK + OK^2 + OK^2 — 2 cdot (OB — OK) cdot OK cdot cos angle AOK$
$AK^2 = 2r^2 — 8 + 4 + 4 — 2 cdot (2r — 2) cdot 2 cdot cos angle AOK$
$AK^2 = 2r^2 — 2 cdot 2r cdot (2 — cos angle AOK)$
$AK^2 = 2r^2 — 4r cdot cos angle AOK$
Таким образом, нам нужно найти значение косинуса угла AOK. Для этого воспользуемся теоремой косинусов в треугольнике AOK:
$OK^2 = OA^2 + AK^2 — 2 cdot OA cdot AK cdot cos angle AOK$
$4 = OA^2 + AK^2 — 2 cdot OA cdot AK cdot cos angle AOK$
$2r^2 — 4r cdot cos angle AOK = AK^2 = OA^2 + AK^2 — 2 cdot OA cdot AK cdot cos angle AOK$
$OA cdot AK cdot cos angle AOK = r^2 — 2r^2 + 4r cdot cos angle AOK$
$OA cdot AK cdot cos angle AOK = 4r cdot cos angle AOK — r^2$
$cos angle AOK = frac{4r cdot cos angle AOK — r^2}{OA cdot AK}$
$cos angle AOK = frac{4r — r^2/cos angle AOK}{OA cdot AK}$
$cos angle AOK = frac{4r}{OA cdot AK} — frac{r^2}{OA cdot AK cdot cos angle AOK}$
$cos angle AOK = frac{4r}{OA cdot AK} — frac{r^2}{AK^2}$
Теперь мы можем подставить это выражение для косинуса в формулу для AK:
$AK^2 = 2r^2 — 4r cdot cos angle AOK$
$AK^2 = 2r^2 — 4r cdot left(frac{4r}{OA cdot AK} — frac{r^2}{AK^2}right)$
$AK^2 = 2r^2 — frac{16r^2}{OA} + frac{4r^3}{AK}$
$AK^3 — 4r^3 = 2r^2 cdot AK — 16r^2 cdot OA$
$AK^3 — 2r^2 cdot AK = 4r^3 + 16r^2 cdot OA$
$AK(AK^2 — 2r^2) = 4r^3 + 16r^2 cdot OA$
$AK = frac{4r^3 + 16r^2 cdot OA}{AK^2 — 2r^2}$
Теперь осталось найти значение OA. Для этого воспользуемся теоремой косинусов в треугольнике OAB:
$OB^2 = OA^2 + AB^2 — 2 cdot OA cdot AB cdot cos angle AOB$
$2r^2 = OA^2 + (2r)^2 — 2 cdot OA cdot 2r cdot cos angle AOB$
$OA^2 — 4r cdot OA cdot cos angle AOB + 3r^2 = 0$
$OA = frac{4r cdot cos angle AOB pm sqrt{(4r cdot cos angle AOB)^2 — 4 cdot 3r^2}}{2} = 2r cdot (cos angle AOB pm sqrt{2})$
Таким образом, мы получили два возможных значения для OA. Одно из них отрицательное и не подходит, так как OA — длина отрезка, а значит, не может быть отрицательным. Таким образом, мы выбираем положительное значение:
$OA = 2r cdot (cos angle AOB + sqrt{2})$
Теперь мы можем подставить найденные значения для AK и OA в формулу для AK:
$AK = frac{4r^3 + 16r^2 cdot OA}{AK^2 — 2r^2}$
$AK = frac{4r^3 + 16r^2 cdot 2r cdot (cos angle AOB + sqrt{2})}{AK^2 — 2r^2}$
$AK = frac{8r^3 + 32r^3 cdot (cos angle AOB + sqrt{2})}{AK^2 — 2r^2}$
$AK = frac{8r^3 cdot (1 + 4 cdot (cos angle AOB + sqrt{2}))}{AK^2 — 2r^2}$
Теперь осталось найти значение косинуса угла AOB. Для этого воспользуемся теоремой косинусов в треугольнике AOB:
$AB^2 = AO^2 + OB^2 — 2 cdot AO cdot OB cdot cos angle AOB$
$(2r)^2 = (2r cdot (cos angle AOB + sqrt{2}))^2 + 4^2 — 2 cdot 2r cdot 4 cdot cos angle AOB$
$4r^2 = 4r^2 cdot (cos angle AOB + sqrt{2})^2 + 16 — 16r cdot cos angle AOB$
$4r^2 = 4r^2 cdot (cos^2 angle AOB + 2sqrt{2} cdot cos angle AOB + 2) + 16 — 16r cdot cos angle AOB$
$0 = 4r^2 cdot cos^2 angle AOB + 8r^2 cdot sqrt{2} cdot cos angle AOB + 4r^2 — 16r cdot cos angle AOB + 16$
$4r^2 cdot cos^2 angle AOB + (8r^2 cdot sqrt{2} — 16r) cdot cos angle AOB + 4r^2 + 16 = 0$
Теперь мы можем решить квадратное уравнение относительно косинуса угла AOB и выбрать положительное значение:
$cos angle AOB = frac{16r — 8r^2 cdot sqrt{2} pm sqrt{(8r^2 cdot sqrt{2} — 16r)^2 — 4 cdot 4r^2 cdot (4r^2 + 16)}}{8r^2}$
$cos angle AOB = frac{16r — 8r^2 cdot sqrt{2} + sqrt{(8r^2 cdot sqrt{2} — 16r)^2 — 4 cdot 4r^2 cdot (4r^2 + 16)}}{8r^2}$
Теперь мы можем подставить найденное значение для косинуса в формулу для AK:
$AK = frac{8r^3 cdot (1 + 4 cdot (cos angle AOB + sqrt{2}))}{AK^2 — 2r^2}$
$AK = frac{8r^3 cdot (1 + 4 cdot (frac{16r — 8r^2 cdot sqrt{2} + sqrt{(8r^2 cdot sqrt{2} — 16r)^2 — 4 cdot 4r^2 cdot (4r^2 + 16)}}{8r^2} + sqrt{2}))}{AK^2 — 2r^2}$
$AK = frac{8r^3 cdot (1 + 4 cdot (frac{16r — 8r^2 cdot sqrt{2} + sqrt{128r^4 — 512r^3 cdot sqrt{2} + 512r^2}}{8r^2} + sqrt{2}))}{AK^2 — 2r^2}$
$AK = frac{8r^3 cdot (1 + 4 cdot (frac{16r — 8r^2 cdot sqrt{2} + 8r cdot sqrt{2} cdot sqrt{2 + sqrt{2}}}{8r^2} + sqrt{2}))}{AK^2 — 2r^2}$
$AK = frac{8r^3 cdot (1 + 4 cdot (frac{16r — 4r^2 cdot sqrt{2} + 4r cdot sqrt{2} cdot sqrt{2 + sqrt{2}}}{4r^2} + sqrt{2}))}{AK^2 — 2r^2}$
$AK = frac{8r^3 cdot (1 + 16r — 4r^2 cdot sqrt{2} + 4r cdot sqrt{2} cdot sqrt{2 + sqrt{2}} + 4r^2 cdot sqrt{2} + 16r cdot sqrt{2} cdot sqrt{2 + sqrt{2}})}{4r^2 cdot (AK^2 — 2r^2)}$
$AK = frac{2r cdot (1 + 16r — 4r^2 cdot sqrt{2} + 4r cdot sqrt{2} cdot sqrt{2 + sqrt{2}} + 4r^2 cdot sqrt{2} + 16r cdot sqrt{2} cdot sqrt{2 + sqrt{2}})}{AK^2 — 2r^2}$
Таким образом, мы получили формулу для длины отрезка AK в зависимости от радиуса окружности r. Осталось только подставить известные значения:
$r = OB/2 = 2$
$AK^2 = AO^2 + OK^2 — 2 cdot AO cdot OK cdot cos angle AOK = OA^2 + 4 — 4 cdot OA cdot cos angle AOB$
$OA = 2r cdot (cos angle AOB + sqrt{2}) = 2 cdot (1 + sqrt{2})$
$cos angle AOB = frac{16r — 8r^2 cdot sqrt{2} + sqrt{(8r^2 cdot sqrt{2} — 16r)^2 — 4 cdot 4r^2 cdot (4r^2 + 16)}}{8r^2} = frac{1}{2} cdot sqrt{2 + sqrt{2}}$
$AK = frac{2 cdot (1 + 16 cdot 2 — 4 cdot 2^2 cdot sqrt{2} + 4 cdot 2 cdot sqrt{2} cdot sqrt{2 + sqrt{2}} + 4 cdot 2^2 cdot sqrt{2} + 16 cdot 2 cdot sqrt{2} cdot sqrt{2 + sqrt{2}})}{AK^2 — 8}$
$AK^2 — 8 = frac{2 cdot (1 + 16 cdot 2 — 4 cdot 2^2 cdot sqrt{2} + 4 cdot 2 cdot sqrt{2} cdot sqrt{2 + sqrt{2}} + 4 cdot 2^2 cdot sqrt{2} + 16 cdot 2 cdot sqrt{2} cdot sqrt{2 + sqrt{2}})}{AK}$
$AK^3 — 8 cdot AK = 2 cdot (1 + 16 cdot 2 — 4 cdot 2^2 cdot sqrt{2} + 4 cdot 2 cdot sqrt{2} cdot sqrt{2 + sqrt{2}} + 4 cdot 2^2 cdot sqrt{2} + 16 cdot 2 cdot sqrt{2} cdot sqrt{2 + sqrt{2}})$
$AK^3 — 8 cdot AK — 2 cdot (1 + 16 cdot 2 — 4 cdot 2^2 cdot sqrt{2} + 4 cdot 2 cdot sqrt{2} cdot sqrt{2 + sqrt{2}} + 4 cdot 2^2 cdot sqrt{2} + 16 cdot 2 cdot sqrt{2} cdot sqrt{2 + sqrt{2}}} = 0$
$AK approx 6.67$ (по численному решению)
Таким образом, длина отрезка AK примерно равна 6.67 см.
