Вопрос школьника
На рисунке 147 прямые min — срединные перпендикуляры стopин АВ i АС треугольника ABC. Докажите, что точка О равноудалена от ycix вершин данного треугольника
Ответ от учителя
Для доказательства того, что точка О равноудалена от вершин треугольника ABC, необходимо показать, что расстояние от точки О до каждой из вершин равно.
Пусть точка О является пересечением прямых min — срединных перпендикуляров сторон АВ и АС треугольника ABC.
Так как min — срединный перпендикуляр стороны АВ, то он проходит через середину стороны АВ, обозначим ее точкой М. Аналогично, срединный перпендикуляр стороны АС проходит через середину стороны АС, обозначим ее точкой N.
Таким образом, точка О является пересечением отрезков МО и NO, которые являются срединными перпендикулярами сторон АВ и АС соответственно.
Рассмотрим треугольник АМО. Так как О лежит на срединном перпендикуляре стороны АВ, то ОМ является радиусом описанной окружности треугольника АВ. Аналогично, рассмотрим треугольник АНО. Так как О лежит на срединном перпендикуляре стороны АС, то ОН является радиусом описанной окружности треугольника АС.
Таким образом, точка О является центром окружностей, описанных вокруг треугольников АВ и АС. Радиусы этих окружностей равны ОМ и ОН соответственно.
Так как точка М является серединой стороны АВ, то АМ = МВ. Аналогично, так как точка N является серединой стороны АС, то АН = НС.
Таким образом, расстояние от точки О до вершины А равно ОА = ОМ + АМ = ОН + АН = расстояние от точки О до вершины С.
Аналогично, можно показать, что расстояние от точки О до вершины В также равно ОА.
Таким образом, точка О равноудалена от вершин треугольника ABC.
