Вопрос школьника
У гострокутному трикутнику один iз зовнішніх кутів дорівнює 160°. Знайдіть кут між прямими, на яких лежать висоти, проведетні з двох інших вершин трикутника
Ответ от учителя
Для розв’язання цієї задачі нам потрібно знати деякі властивості гострокутних трикутників та їх висот.
1. У гострокутному трикутнику сума всіх внутрішніх кутів дорівнює 180°.
2. У гострокутному трикутнику кожна висота є бісектрисою зовнішнього кута, утвореного двома іншими сторонами.
3. У гострокутному трикутнику кожна висота є медіаною зовнішнього кута, утвореного третьою стороною та продовженням іншої сторони.
Тепер розглянемо нашу задачу. Нехай ABC — гострокутний трикутник, із зовнішнім кутом ACD, де D — точка перетину висот зі сторони BC. За умовою задачі, ми знаємо, що кут ACD дорівнює 160°.
За властивістю 2, ми знаємо, що кут ADC дорівнює половині зовнішнього кута ACD, тобто 80°. Аналогічно, кут ADB дорівнює половині зовнішнього кута ABD, який також дорівнює 80°.
За властивістю 1, сума всіх внутрішніх кутів трикутника ABC дорівнює 180°. Тому кут BAC дорівнює 180° — кут ADC — кут ADB, тобто 20°.
За властивістю 3, медіана зовнішнього кута ділить його на дві частини, які дорівнюють півсумі відповідних сторін. Тому кут між прямими, на яких лежать висоти, проведені з двох інших вершин трикутника, дорівнює сумі кутів BAC та ACD, тобто 20° + 160° = 180°.
Отже, кут між прямими, на яких лежать висоти, проведені з двох інших вершин гострокутного трикутника, дорівнює 180°.
