Вопрос школьника
Подобрать такие значения а и с, чтобы система уравнений {x+ y=5; ax + 3y=c имела: 1) единственное решение; 2) бесконечно много решений; 3) не имела решений.
Ответ от учителя
1) Для того, чтобы система имела единственное решение, необходимо, чтобы ее матрица коэффициентов была невырожденной. В данном случае матрица имеет вид:
|1 1|
|a 3|
Ее определитель равен 3 — a, поэтому система будет иметь единственное решение при любых значениях a и c, кроме a = 3.
2) Чтобы система имела бесконечно много решений, необходимо, чтобы ее уравнения были линейно зависимыми. Это возможно только если одно из уравнений является линейной комбинацией другого. В данном случае первое уравнение не может быть получено из второго, поэтому система не может иметь бесконечно много решений.
3) Чтобы система не имела решений, необходимо, чтобы ее уравнения были противоречивыми, то есть не существовало таких значений x и y, которые бы удовлетворяли обоим уравнениям. Из первого уравнения следует, что y = 5 — x. Подставляя это выражение во второе уравнение, получаем:
ax + 3(5 — x) = c
ax — 3x = c — 15
(a — 3)x = c — 15
Если a = 3, то левая часть равна нулю, а правая — нет, поэтому система не имеет решений при a = 3. В остальных случаях левая и правая части не могут быть равными, поэтому система не имеет решений.
