Вопрос школьника
В шар вписана правильная треугольная пирамида, длина стороны основания которой равна а. Найдите радиус шара, если высота пирамиды равна стороне ее основания.
Ответ от учителя
Пусть треугольник на основании пирамиды ABC является равносторонним, тогда длина его стороны равна а. Пусть O — центр вписанной в шар пирамиды, тогда радиус шара равен радиусу вписанной в него сферы.
Рассмотрим плоскость, проходящую через центр шара O и вершины пирамиды A. Эта плоскость является плоскостью симметрии пирамиды, поэтому точки B и C, лежащие на основании пирамиды, должны быть симметричны относительно этой плоскости. Таким образом, отрезки OB и OC равны и составляют угол в 120 градусов.
Рассмотрим треугольник OBC. Он является равносторонним, так как все его стороны равны радиусу шара. Пусть R — радиус шара, тогда длина стороны треугольника OBC равна 2R.
Так как угол BOC равен 120 градусов, то по теореме косинусов:
$$(2R)^2 = a^2 + a^2 — 2a cdot a cdot cos 120^circ = 4a^2 — 2a^2 cdot (-frac{1}{2}) = 5a^2$$
Отсюда получаем:
$$R = frac{sqrt{5}}{4}a$$
Таким образом, радиус шара, вписанного в правильную треугольную пирамиду, высота которой равна стороне ее основания, равен $frac{sqrt{5}}{4}a$.
