Вопрос школьника
Биссектрисы углов A и B параллелограмма ABCD пересекаются в точке K. Найдите площадь параллелограмма, если BC=2, а расстояние от точки K до стороны AB равно 1
Ответ от учителя
Пусть биссектриса угла A пересекает сторону BC в точке M, а биссектриса угла B пересекает сторону CD в точке N. Так как биссектрисы параллельны, то углы AMK и CNK равны. Также углы AKB и CKD равны, так как они смежные и дополнительные к углам ABC и ADC соответственно. Значит, треугольники AMK и CNK равны по двум углам и стороне, а значит, их высоты, опущенные на сторону AB, равны.
Пусть высота, опущенная из точки K на сторону AB, равна h. Тогда площадь треугольника AMK равна (1/2)h·AM, а площадь треугольника CNK равна (1/2)h·CN. Но AM=BC=2, а CN=AD=BC+AB=2+2=4, так как противоположные стороны параллелограмма равны. Значит, площадь треугольника AMK равна h, а площадь треугольника CNK равна 2h.
Таким образом, площадь параллелограмма ABCD равна сумме площадей треугольников AMK и CNK, то есть 3h. Но мы знаем, что расстояние от точки K до стороны AB равно h=1, значит, площадь параллелограмма ABCD равна 3.
