Вопрос школьника
Докажите, что средняя линия DE треугольника ABC (точки D и Е принадлежат сторонам АВ и ВС соответственно) и его медиана ВМ точкой пересечения делятся пополам.
Ответ от учителя
Для доказательства этого утверждения нужно воспользоваться свойствами медиан и средних линий треугольника.
Медиана ВМ делит сторону АС пополам, то есть АВ = VC. Пусть точка F — точка пересечения средней линии DE и медианы ВМ. Тогда нужно доказать, что BF = FC.
Рассмотрим треугольники BDF и CEF. Они равны по двум сторонам (BD = CE, DF = EF, так как D и E — точки пересечения средней линии и сторон треугольника), а значит, по третьей стороне они тоже равны. То есть углы BDF и CEF равны.
Так как углы BDF и CEF равны, то углы BFC и EFC тоже равны (они дополнительны к углам BDF и CEF соответственно). Значит, треугольники BFC и CFE равны по двум углам и общей стороне CF.
Отсюда следует, что BF = FC, что и требовалось доказать. Таким образом, средняя линия DE и медиана ВМ точкой пересечения делятся пополам.
