Вопрос школьника
Острый угол равнобедренной трапеции равен 45°, а высота, проведённая из вершины тупого угла, делит основание на отрезки 14 см и 34 см. Найдите площадь трапеции.
Ответ от учителя
Пусть основание равнобедренной трапеции равно $a$, а боковая сторона (боковая сторона равна высоте, проведенной из вершины тупого угла) равна $h$. Так как острый угол равнобедренной трапеции равен $45^circ$, то другой острый угол также равен $45^circ$. Тогда треугольник, образованный высотой и половиной основания, является прямоугольным с катетами $a/2$ и $h$ и гипотенузой $a/2 + h$. Так как угол при вершине тупого угла равен $90^circ$, то треугольник, образованный высотой, половиной основания и боковой стороной, является прямоугольным с катетами $a/2$ и $h$ и гипотенузой $a/2 — h$.
Из условия задачи известно, что высота делит основание на отрезки длиной 14 см и 34 см. Тогда $a = 14 + 34 = 48$ см.
Теперь можно найти высоту $h$. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора для прямоугольных треугольников, образованных высотой и половиной основания, и высотой, половиной основания и боковой стороной:
$$(a/2 + h)^2 = h^2 + (a/2)^2$$
$$(a/2 — h)^2 = h^2 + (a/2)^2$$
Решая эту систему уравнений, получаем $h = 16$ см.
Теперь можно найти площадь трапеции:
$$S = frac{(a + b)h}{2} = frac{(14 + 34 + 48) cdot 16}{2} = 768 text{ см}^2$$
Ответ: площадь трапеции равна 768 квадратных сантиметров.
