Вопрос школьника
В окружности по разные стороны от её центра проведены две параллельные хорды длиной 16 см и 32 см. Расстояние между хордами равно 16 см. Найдите радиус окружности.
Ответ от учителя
Рассмотрим данную ситуацию на рисунке:
Пусть $O$ — центр окружности, $AB$ и $CD$ — параллельные хорды, $E$ и $F$ — середины хорд $AB$ и $CD$ соответственно. Тогда $OE$ и $OF$ — радиусы окружности.
Заметим, что треугольники $OAE$ и $OCF$ равны по двум сторонам и углу между ними (он равен $90^circ$, так как $AB$ и $CD$ параллельны). Значит, у них равны и третьи стороны: $OA = OC = r$, где $r$ — радиус окружности.
Теперь рассмотрим треугольник $OEF$. Он прямоугольный, поэтому по теореме Пифагора:
$$OE^2 + EF^2 = OF^2$$
Подставим известные значения:
$$r^2 + 8^2 = (r+16)^2$$
Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:
$$r^2 + 64 = r^2 + 32r + 256$$
$$32r = 192$$
$$r = 6$$
Ответ: радиус окружности равен 6 см.
